矩阵试题2009A卷

1北京交通大学2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一．（12分）3][xR表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在3][xR中取两个基：2123:1,1,1Ixxx；222123:1,,1IIxxxxx。（1）求基I到基II的过度矩阵；（2）求2123xx在基I下的坐标。二．（16分）设3[]Rx是由次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间，3[]Rx中的线性映射T满足：对任意20123()[]fxaaxaxRx，21202012()()()(2)Tfxaaaaxaaax，（1）求T的核()NT基和维数；（2）求值域()RT的基和维数；（3）求3[]Rx的一个基使得T在该基下的矩阵表示为对角矩阵。三．（12分）设11121121Aiiii，111x，1i。计算11,,,AxAxAA。2四．（8分）求矩阵112221120112A的满秩分解。五．（12分）求矩阵122330006A的三角正交分解ARU，其中U是酉矩阵，R是正线下三角矩阵。六．（20分）证明题：1．设A是n阶正规矩阵，证明A是酉矩阵的充要条件是A的特征值的绝对值等于1。2．设A半正定Hermite矩阵且AO，证明：||1EA。3．设A是正规矩阵，证明：2(||)maxjjA，其中j是A的第j个特征值。七．（20分）设126103112A。（1）求EA的Smith标准形；（2）写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准形；（3）求矩阵函数()fA，并计算tAe，||tAe。