矩阵路论知识要点

•矩阵论是一门经典的数学学科，也是一门繁琐的、但有广泛应用价值的数学课程。•矩阵理论和方法是现代科技领域中处理有限维空间形式与数量关系的强有力的不可缺少的工具。•尤其是计算机的普及，更为矩阵论的应用提供了广阔的应用舞台，如系统工程、控制工程、最优化方法、管理工程等。序言问题一线性方程组的求解•给定一个m个方程n个变量的线性方程组记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未知向量，则线性方程组可表示为其中解的形式：（1）当m=n，且A可逆时，线性方程组AX=B的解可表示为•当m=n，且A不可逆时，或者当时，线性方程组的解又如何表示呢？•特别地，在讨论矛盾方程AX=B时，如何定义线性方程组的解。广义逆矩阵问题问题二矩阵的算术运算矩阵的加法与减法定义为矩阵的乘法运算如何定义矩阵的除法运算•在线性代数中，我们对于可逆矩阵A可定义矩阵“除法”，称为矩阵A的逆矩阵，记为A-1•即当矩阵A的秩等于其行数和列数时，矩阵A称为满秩矩阵，才能定义“矩阵除”，并由此得到矩阵方程AX=B的解为•X=A-1B•问题：我们能否定义一般矩阵的“除法”。问题三矩阵的分析运算•在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算，能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。•分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称为矩阵范数。问题四矩阵的简单形式•矩阵运算常常要求矩阵在各种意义下的简单形式，以简化矩阵运算过程。这就要求讨论矩阵的标准形和矩阵分解问题。•常见形式有：Jordan标准形、行最简标准形、Hermite标准形；矩阵的UR（酉矩阵U与正线上三角矩阵R）分解、QR（正交矩阵Q与三角矩阵R）分解、谱分解、满秩分解、奇异值分解等。课程教学主要内容•一线性代数的有关知识•二线性空间与线性变换•三内积空间•四范数理论•五矩阵分析•六矩阵分解•七广义逆矩阵•八Kronecker积主要参考书•矩阵论中国矿业大学出版社程林凤等•矩阵论清华大学出版社方保熔等•矩阵理论与代数基础电子科技出版社李正良•矩阵论西北工业大学出版社程云鹏学习本课程所需掌握的基础知识：线性代数有关知识与微积分初步课程教学要求•理解矩阵论的基本概念•掌握矩阵论的基本计算方法思考、回答两个问题:1、矩阵的数值特征及它们的应用2、矩阵的初等变换及应用3.一些特殊的矩阵1)设A为m×n阶矩阵,把它的行换成同序号的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作A或AT矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有(AT)T=A;(A+B)T=AT+BT;(A)T=AT;(AB)T=BTAT.附录知识要点2)、共轭转置矩阵当A=(aij)为复矩阵时,用ija表示aij的共轭复数,记.aAijHT)(HA称为A的共轭转置矩阵.;)((1)HHHBABA;)((2)HHAA共轭转置矩阵有以下运算规律(设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的):;)()3(HHHABABAAHH)()4(()nnijAaCHAAAHAAAnnARTAAATAAA3)设，如果，则称是Hermite矩阵，如果，则称是反Hermite矩阵。，如果，则称是（实）对称矩阵，如果，则称是（实）反对称矩阵。设4)设A为n阶方阵,若满足A2=A,则称A为幂等矩阵.若满足A2=E,则称A为对合矩阵.若满足AAT=ATA=E,则称A为正交矩阵.4)行列式|A|的各元素的代数余子式Aij所构成的方阵,AAAAAAAAAAnnnnnn*212221212111叫做方阵A的伴随矩阵.伴随矩阵具有重要性质:AA*=A*A=|A|E.1.任何两个矩阵A、B都能进行加(减),相乘运算吗?思考答不是.(1)只有当A,B为同型矩阵时,才能进行加(减)运算.(2)只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时,A与B才能相乘,这时AB才存在.3.两个矩阵A、B相乘时,AB=BA吗?|AB|=|BA|?答AB不一定等于BA.若要AB=BA,首先要使AB和BA都存在,此时A、Ｂ应为同阶方阵.其次矩阵的乘法不满足交换律.在一般情况下,ABBA.但对同阶方阵A、B,|AB|=|BA|是一定成立的.因为对于数的运算,交换律是成立的,即|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.4.若AB=AC能推出B=C吗?,C,B,A000010000001则AB=AC,但BC.答不能.因为矩阵的乘法不满足消去律.例如5.非零矩阵相乘时,结果一定不是零矩阵吗?,OBO,A10000010但.AB0000又如O,A0010但.AAA00002答非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵.例如6.设A与B为n阶方阵,问等式A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是什么？答A2-B2=(A+B)(A-B)成立的充要条件是AB=BA.事实上，由于(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2,故A2-B2=(A+B)(A-B)当且仅当BA-AB=0，即AB=BA.4.逆阵的概念1)设A为n阶方阵,如果存在矩阵B,使AB=BA=E,则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵B称为A的逆矩阵.若有逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的,记作A-1.2)相关定理及性质(i)方阵A可逆的充分必要条件是:|A|0.(ii)若矩阵A可逆,则A-1=A*/|A|.(iii)(A-1)-1=A;(A)-1=1/A-1(0);(AT)-1=(A-1)T.(iv)若同阶方阵A与B都可逆,那么AB也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.5.矩阵的分块运算矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论证,其运算法则同普通矩阵类似.两种常用的分块法1).按行分块对于mn矩阵A可以进行如下分块：mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211.TT2T1m2).按列分块对于mn矩阵A可以进行如下分块：).,,,(21naaamnmmnnaaaaaaaaaA112222111211对于矩阵A=(aij)ms与矩阵B=(bij)sn的乘积矩阵AB=C=(cij)mn，若把A按行分成m块，把B按列分成n块，便有),,,(21TT2T1nmbbbABnmmmnnbbbbbbbbbT2T1TT22T21T2T12T11T1=(cij)mn，.1Tskkjikjiijbabc以对角矩阵m左乘矩阵Amn时，把A按行分块，有TT2T121mmnmmA,TT22T11mm以对角矩阵m左乘A的结果是A的每一行乘以中与该行对应的对角元.以对角矩阵n左乘矩阵Amn时，把A按列分块，有mnnaaaA2121),,,(,),,,(2211nn以对角矩阵n右乘A的结果是A的每一列乘以中与该列对应的对角元.（1）表示什么？思考设ie是标准单位坐标向量，则jAe（2）表示什么？AeTi（3）表示什么？jTiAee例1证明矩阵A=O的充分必要条件是方阵ATA=O.例例1717证明矩阵A=O的充分必要条件是方阵ATA=O.证明证明必要性显然，下面证明充分性.设A=(aij)mn，把A用列向量表示为,),,,(21naaaA则),,,(21TT2T1TnnaaaaaaAA,T2T1TT22T21T2T12T11T1nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa6、线性方程组的各种形式对于线性方程组)1(,,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa记mmnmmnnmnijbaaabaaabaaaBbbbbxxxxaA212222211112112121,,,)(其中A称为系数矩阵，x称为未知向量，b称为常数项向量，B称为增广矩阵.按分块矩阵的记法，可记B=(Ab),或B=(A,b)=(a1,a2,…,an,b).利用矩阵的乘法，此方程组可记作Ax=b.(2)方程（2）以向量x为未知元，它的解称为方程组（1）的解向量.如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组Ax=b可记作,21TT2T1mmbbbx或)3(,,,T2T21T1mmbxbxbx这就相当于把每个方程ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi记作.),,2,1(Tmibxii如果把系数矩阵A按列分成n块，则与A相乘的x应对应地按行分成n块，从而记作,),,,(2121bxxxaaann即x1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）（2）、（3）、（4）是线性方程组（1）的各种变形.今后，它们与（1）将混同使用而不加区分，并都称为线性方程组或线性方程.)1(,,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaAx=b.(2),21TT2T1mmbbbx或)3(,,,T2T21T1mmbxbxbxx1a1+x2a2+…+xnan=b.（4）7、初等变换结论:每个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵也称为Hermite标准形。思考：初等变换的应用？求逆；解方程组；解矩阵方程;判断向量组的秩和矩阵的秩等等.例2设试用初等行变换将A化为行阶梯形，进而化为行最简阶梯形矩阵。解继续使用初等行变换，将B化为行最简阶梯形矩阵：解例3用初等行变换解方程组为矩阵A的相抵标准型。结论：对于任何m×n型非零矩阵A，可经过有限次初等变换化成标准型，即存在m阶初等矩阵和n阶初等矩阵使得定义称矩阵附录知识要点8.n维向量)(21n,a,,aa1)2)向量的相等,零向量,负向量.3)向量的线性运算当=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn),则＝△+(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);＝△(a1,a2,…,an),其中R.4)线性运算满足下列八条规律:+=+;(+)+·=+(+·);+0=;+(-)=0;1·=;()=();(+)=+;(+)=+,其中,,·为n维向量,,R.9.线性相关与线性无关1)线性组合线性表示线性相关设有n维向量组A:1,2,…,m,B:1,2,…,s,对于向量,如果有一组数1,2,…,m,使=11+22+…+mm,则称向量是向量组A的线性组合,或称可由A线性表示.如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km,使k11+k22+…+kmm=0,则称向量组A线性相关,否则称A线性无关.如果向量组A中的每一个向量都能由向量组B中的向量线性表示,则称向量组A能由向量组B线性表示.如果A能由B线性表示,且B也能由A线性表示,则称A与B等价.向量组之