管理统计学第7章习题解答

习题7.11、随机地从一批钉子中抽取10枚，测得长度（单位：cm）如下：2.11，2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.14，2.12，2.13试求这批钉子长度总体均值μ及方差σ2的矩估计值，并求样本方差s2.解：X＝101110iiX＝2.127；2＝10211()10iiXX＝0.014182＝0.000201；1022211()0.014940.000229iisXX.2、设总体X服从几何分布，其分布律为：P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，……，其中p为未知参数，(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，求p的矩估计.解：EX＝1111(1)(1)kkkkkpppkp.设11()kkfxkx，|x|1.01()1xkkxfxdxxx，/21()()1(1)xfxxx.EX＝1(1)pfpp,1pEX,1pX.3、设总体X的概率密度为22(),0,()0,.xxfx其他其中θ0,(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，试求未知参数θ的矩估计.解：EX＝202()()3xfxdxxxdx,=3EX,3X.4、设(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，求下述各总体的概率密度函数中的未知参数θ的最大似然估计.（1）.1,01,()0,.xxfx其他解：似然函数为L(θ)=1/21111()()nnnniiiiiifxxx(0≤xi≤1,i=1,2,…,n)，1ln()ln(1)ln2niinLx(0≤xi≤1,i=1,2,…,n)，令1ln()1ln022niidLnxd，从中解得221(ln)niinx，此即为θ的最大似然估计.（2）22,0,()0,.xxexfx其他解：似然函数为L(θ)=221111()2(2)()niiinnnxxniiiiiifxxexe(0xi,i=1,2,…,n)，211ln()ln2lnnniiiiLnxx(0xi,i=1,2,…,n)，令21ln()0niidLnxd，从中解得21niinx，此即为θ的最大似然估计.5、设总体X服从二项分布B(m,p)，其中m已知，p为未知参数，(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本求p的矩估计和最大似然估计.解：EX＝mp,p=EX/p,11niiXpXmmn.6、设总体X服从指数分布Exp（λ），概率密度函数为,0,()0,0.xexfxx(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本.求未知参数λ的矩估计与最大似然估计.解：EX＝1/λ,所以λ的矩估计1X.再求λ的最大似然估计.似然函数为L(λ)=111()niiinnxxniiifxee(0xi,i=1,2,…,n)，1ln()lnniiLnx(0xi,i=1,2,…,n)，令1ln()0niidLnxd，从中解得1X，此即为θ的最大似然估计.习题7.21、设(X1,X2,…,X6)是取自总体X的一个样本，θ=E(X)为待估参数.问下列点估计中哪些是θ的无偏估计？1123456(23456)/6XXXXXX2123456(23456)/21XXXXXX3123456()/6XXXXXX解：1121(23456)66E；21(23456)21E，3E.2，3是θ的无偏估计.2、设随机变量X～P（λ），(X1,X2,…,Xn)是取自X的一个样本.试证211(1)niiiXXn是参数λ2的无偏估计.解：2221111(){()()}{()[()]()}nniiiiiiiEEXEXDXEXEXnn2221111{}nniinn所以211(1)niiiXXn是参数λ2的无偏估计.3、设随机变量X～11(,)22U，试证X是参数θ的无偏估计.解：EX=θ，()()EEXEX，所以X是参数θ的无偏估计.4、设总体X的数学期望为μ，(X1,X2,…,Xn)是取自X的一个样本.a1,a2,…,an是任意常数，验证111()/(0)nnniiiiiiiaXaa是μ的无偏估计.解：E111111()/()/()/nnnnnniiiiiiiiiiiiiiaXaaEXaaa，所以11()/nniiiiiaXa是μ的无偏估计.5、设第1题中的总体X的方差Var(X)存在.问θ的哪个无偏估计较为有效？解：2291(149162536)21441DXDXD≈0.21DX，36DXD≈0.17DX，32DD，3较2有效.习题7.31、测试某种清漆的干燥时间，随机抽取12个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0，6.2，5.9，6.4设干燥时间总体服从正态分布N(μ,σ2)，对以下两种情况分别求μ的95%置信区间.(1)若由以往经验知σ=0.5（小时）；(2)若σ为未知.解：(1)X＝6.0417，s＝0.5071，α＝0.05，120.56.04171.9612Xun＝（5.7588，6.3246）；(2)12(1)SXtnn＝0.950.50716.0417(11)12t＝（5.7195，6.3639）.2、包糖机某日开工包了10包糖，称得的重量（单位：g）分别为505,515,520,525,510,485,490,505,500,495假设糖包重量服从正态分布，试求糖包平均重量的95%置信区间.解：X＝505，s＝12.9099，α＝0.05，12(1)tn＝0.975(9)2.2622t，12(1)SXtnn＝50512.90992.262210＝5059.2354＝（495.765，514.235）.3、为估计一批钢索所能承受的平均张力，从其中随机抽样做了9次试验.由试验结果算得张力的样本均值为6720kg/cm2,样本标准差s为220kg/cm2.设张力服从正态分布，试求钢索所能承受平均张力的95%置信区间.解：X＝6720，s＝220，α＝0.05，12(1)tn＝0.975(8)2.3060t，12(1)SXtnn＝（6720169.11）＝（6550.89，6889.11）.4、设炮弹初速服从正态分布，随机地取9发炮弹做试验，得炮弹初速度样本标准差为11（m/s）,分别求炮弹初速度的方差σ2和标准差σ的90%置信区间.解：σ2的置信区间22221/2/2(1)(1),(1)(1)nSnSnn＝22811811,15.5072.733＝（62.42，354.19）；σ的置信区间22221/2/2(1)(1),(1)(1)nSnSnn＝（7.90，18.82）.5、对某农作物两个品种A,B计算了8个地区的亩产量（单位：kg）如下：品种A430，435，280，465，420，465，375，395品种B400，395，290，455，385，410，380，330假定两个品种的亩产量分别服从正态分布N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)，试求两个品种平均亩产量之差μ1-μ2的95%置信区间.解：置信区间12121211(2)XYtnnSnn，X＝408.125，Y＝380.625，s1＝60.3524，s2＝50.3869，1212(2)tnn＝t0.975（14）＝2.1448，222112212(1)(1)2wnSnSSnn＝273642.412272538.83973090.6259514wS，12121211(2)XYtnnSnn＝27.52.1448×55.5934×0.5＝（-32.12，87.12）6、随机地从甲批导线中抽取4根，从乙批导线中抽取5根，测得其电阻(单位:Ω)分别为甲批导线:0.142,0.143,0.137,0.143乙批导线:0.138,0.140,0.136,0.140,0.142设两批导线电阻分别服从N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)，并且它们相互独立，试求μ1-μ2的95%置信区间.解：置信区间12121211(2)XYtnnSnn，X＝0.14125，Y＝0.1392，s1＝0.002872，s2＝0.002280，1212(2)tnn＝t0.975（7）＝2.3646，222112212(1)(1)2wnSnSSnn＝30.00000840.0000050.0000067，12121211(2)XYtnnSnn＝0.002050.0039＝（－0.002，0.006）7、两台机床加工同一种零件，从中分别随机抽取6个和9个零件，测量其长度，并计算出两个样本的方差分别为S12=0.245(mm)2,S22=0.357(mm)2.假定各台机床所加工的零件长度总体都服从正态分布.试求两个总体方差之比σ12/σ22的置信水平为95%的置信区间.解：置信区间222212121/212/212//,(1,1)(1,1)SSSSFnnFnn＝0.9750.0250.245/0.3570.245/0.3570.245/0.3570.245/0.357,,(5,8)(5,8)4.821/6.76FF＝（0.142，4.639），8、有两位化验员甲、乙，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测定值的样本方差依次为0.5419和0.6065，设甲、乙测得的数据总体分别服从方差依次为σ12和σ22的正态分布，试求σ12/σ22的置信水平为95%的置信区间.解：置信区间222212121/212/212//,(1,1)(1,1)SSSSFnnFnn＝0.9750.0250.5419/0.60650.5419/0.60650.5419/0.60650.5419/0.6065,,(9,9)(9,9)4.031/4.03FF＝（0.222，3.601）9、设某种电器零件的电阻（单位:Ω）服从正态分布N(μ,σ2).从这种零件中随机抽取15只，测得电阻为：3.0，2.7，2.9，2.8，3.1，2.6，2.5，2.8，2.4，2.9，2.7，2.6，3.2，3.0，2.8.试求：(1)电阻均值μ的95%单侧置信下限；解：1(1)SXtnn＝0.950.22362.8(14)15t2.8-1.7613×0.223615＝2.698.(2)电阻方差σ2的95%单侧置信上限.解：22/2(1)(1)nSn＝220.05140.2236(14)＝2140.22366.571＝0.1065.10、试求第6题中，μ1-μ2的置信水平为95%的单侧置信下限.解：1121211(2)XYtnnSnn.X＝0.14125，Y＝0.1392，112(2)tnn＝t0.95（7）＝1.8946，0.0000060