高三函数与导数专题(含答案)经典

第1页共6页函数与导数（理科数学）1、对于R上的可导函数()fx，若满足/(1)()0xfx，则必有（C）A．(0)(2)2(1)fffB．(0)(2)2(1)fffC．(0)(2)2(1)fffD．(0)(2)2(1)fff2、()fx是定义在(0,)上的非负可导函数，且满足/()()0xfxfx对任意正数,ab.若ab则必有(C)A.()()afafbB.()()bfbfaC.()()afbbfaD.()()bfaafb3、()fx是定义在(0,)上的非负可导函数，且满足/()()0xfxfx对任意正数,ab.若ab则必有(C)A、()()afafbB、()()bfbfaC、()()afbbfaD、()()bfaafb4、记qpqqppqp当当.,,min．若函数xxxf241log,log3min)(，则函数)(xf的解析式_______________.2)(xf的解集为_________________.答案：（1）xxxf241log,log3min)(=xxxxxx241224141loglog3,logloglog3,log33分解xx241loglog3得4x．又函数xy411log3在),0(内递减，xy22log在),0(内递增，所以当40x时，xx241loglog3；当4x时，xx241loglog3．所以4,log340,log)(412xxxxxf．（2）2)(xf等价于：2log,402xx①或2log3,441xx②．解得：440xx或，即2)(xf的解集为),4()4,0(．5、设函数323()(1)1,32afxxxaxa其中为实数。第2页共6页（1）已知函数()fx在1x处取得极值，求a的值；（2）已知不等式'2()1fxxxa对任意(0,)a都成立，求实数x的取值范围。解:(1)'2()3(1)fxaxxa，由于函数()fx在1x时取得极值，所以'(1)0f即310,1aaa∴(2)方法一由题设知：223(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立，即22(2)20axxx对任意(0,)a都成立，设22()(2)2()gaaxxxaR,则对任意xR，()ga为单调递增函数()aR，所以对任意(0,)a，()0ga恒成立的充分必要条件是(0)0g，即220xx，20x∴，于是x的取值范围是|20xx方法二由题设知：223(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立，即22(2)20axxx对任意(0,)a都成立，于是2222xxax对任意(0,)a都成立，即22202xxx20x∴于是x的取值范围是|20xx6、已知函数43219()42fxxxxcx有三个极值点。（1）证明：275c；（2）若存在实数c，使函数)(xf在区间,2aa上单调递减，求a的取值范围。解：（1）因为函数43219()42fxxxxcx有三个极值点,所以32()390fxxxxc有三个互异的实根.设32()39,gxxxxc则2()3693(3)(1),gxxxxx当3x时，()0,gx()gx在(,3)上为增函数;当31x时，()0,gx()gx在(3,1)上为减函数;当1x时，()0,gx()gx在(1,)上为增函数;所以函数()gx在3x时取极大值,在1x时取极小值.当(3)0g或(1)0g时,()0gx最多只有两个不同实根.因为()0gx有三个不同实根,所以(3)0g且(1)0g.即2727270c,且1390c,解得27,c且5,c故275c.（2）由（I）的证明可知，当275c时,()fx有三个极值点.不妨设为123xxx，，（123xxx），则123()()()().fxxxxxxx所以()fx的单调递减区间是1(]x，,23[,]xx若)(xf在区间,2aa上单调第3页共6页递减，则,2aa1(]x，,或,2aa23[,]xx,若,2aa1(]x，,则12ax.由（I）知，13x,于是5.a若,2aa23[,]xx,则2ax且32ax.由（I）知，231.x又32()39,fxxxxc当27c时，2()(3)(3)fxxx;当5c时，2()(5)(1)fxxx.因此,当275c时，313.x所以3,a且23.a即31.a故5,a或31.a反之,当5,a或31a时，总可找到(27,5),c使函数)(xf在区间,2aa上单调递减.综上所述,a的取值范围是(5)(3,1)，.7、设函数2132()xfxxeaxbx，已知2x和1x为()fx的极值点．（1）求a和b的值；（2）讨论()fx的单调性；（3）设322()3gxxx，试比较()fx与()gx的大小．解：（1）因为122()e(2)32xfxxxaxbx1e(2)(32)xxxxaxb，又2x和1x为()fx的极值点，所以(2)(1)0ff，因此6203320abab，，解方程组得13a，1b．（2）因为13a，1b，所以1()(2)(e1)xfxxx，令()0fx，解得12x，20x，31x．因为当(2)x，(01)，时，()0fx；当(20)(1)x，，时，()0fx．所以()fx在(20)，和(1)，上是单调递增的；在(2)，和(01)，上是单调递减的．（3）由（Ⅰ）可知21321()e3xfxxxx，故21321()()e(e)xxfxgxxxxx，令1()exhxx，则1()e1xhx．令()0hx，得1x，因为1x，时，()0hx≤，所以()hx在1x，上单调递减．故1x，时，()(1)0hxh≥；因为1x，时，()0hx≥，所以()hx在1x，上单调递增．故1x，时，()(1)0hxh≥．所以对任意()x，，恒有()0hx≥，又20x≥，因此()()0fxgx≥，第4页共6页故对任意()x，，恒有()()fxgx≥．8、设函数432()2()fxxaxxbxR，其中abR，．（1）当103a时，讨论函数()fx的单调性；（2）若函数()fx仅在0x处有极值，求a的取值范围；（3）若对于任意的22a，，不等式()1fx≤在11，上恒成立，求b的取值范围．（1）解：322()434(434)fxxaxxxxax．当103a时，2()(4104)2(21)(2)fxxxxxxx．令()0fx，解得10x，212x，32x．当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(0)∞，0102，12122，2(2)，∞()fx000()fx↘极小值↗极大值↘极小值↗所以()fx在102，，(2)，∞内是增函数，在(0)∞，，122，内是减函数．（2）解：2()(434)fxxxax，显然0x不是方程24340xax的根．为使()fx仅在0x处有极值，必须24340xax≥恒成立，即有29640a≤．解此不等式，得8833a≤≤．这时，(0)fb是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是8833，．（3）解：由条件22a，可知29640a，从而24340xax恒成立．当0x时，()0fx；当0x时，()0fx．因此函数()fx在11，上的最大值是(1)f与(1)f两者中的较大者．为使对任意的22a，，不等式()1fx≤在11，上恒成立，当且仅当(1)1(1)1ff≤，≤，即22baba≤，≤在22a，上恒成立．所以4b≤，因此满足条件的b的取值范围是4∞，．第5页共6页9．设函数()(1)ln(1),(1,0)fxxaxxxa（1）求()fx的单调区间；（2）当1a时，若方程()fxt在1[,1]2上有两个实数解，求实数t的取值范围；解析：（1）/()1ln(1)fxaxa①0a时，/()0fx∴()fx在（—1，+）上是增函数②当0a时，()fx在1(1,1]aae上递增，在1[1,)aae单调递减.（2）由（Ⅰ）知，()fx在1[,0]2上单调递增，在[0,1]上单调递减又111(0)0,(1)1ln4,()ln2222fff，∴1(1)()02ff∴当11[,ln2,0)22t时，方程()fxt有两解10.设函数323,()ln(,)fxaxaxgxbxxabR，已知它们在1x处的切线互相平行.（1）求b的值；（2）若函数(),0()(),0fxxFxgxx，且方程2Fxa有且仅有四个解，求实数a的取值范围.解：（1）2'33'10fxaxaf，1'2'121gxbxgbx，依题意：210b，所以12b；（2）0,1x时，1'0gxxx，1,x时，1'0gxxx，所以当1x时，gx取极小值112g；当0a时，方程2Fxa不可能有四个解；当0a时，,1x时，'0fx，1,0x时'0fx，所以1x时，fx取得极小值'1f=2a，又00f，所以Fx的图像如下：从图像可以看出2Fxa不可能有四个解。当0a时，,1x时，'0fx，1,0x时'0fx，所以1x时，fx取得极小值'1f=2a，又00f，所以Fx的图像如下：xyO12a12112a121xOy第6页共6页从图像看出方程2Fxa有四个解，则2122aa，所以实数a的取值范围是2(,2)2。11.已知函数)0()(,ln)(axaxgxxf，设)()()(xgxfxF。（1）求F（x）的单调区间；（2）若以)3,0)((xxFy图象上任意一点),(00yxP为切点的切线斜率21k恒成立，求实数a的最小值。（3）是否存在实数m，使得函数1)12(2mxagy的图象与)1(2xfy的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说名理由。解.(1)F0(ln)()()(xxaxxgxfx)0(1)('22xxaxxaxxF）上单调递增。在（由,)(),,(0)(,0axFaxxFa由）上单调递减在（axFaxxF,0)(),,0(0)(。）），单调递增区间为（的单调递减区间为（,,0)(aaxF（2）恒成立)30(21)(),30()(020002xxaxxFkxxaxxFmin020)21(xxa当21211