不定积分-定积分复习题及答案

1上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分）1、设sinxx为()fx的一个原函数，且0a，则()faxdxa应等于（）（A）3sinaxCax；（B）2sinaxCax；（C）sinaxCax；（D）sinaxCx2、若xe在(,)上不定积分是()FxC，则()Fx（）（A）12,0(),0xxecxFxecx；（B）,0()2,0xxecxFxecx；（C）,0()2,0xxexFxex；（D）,0(),0xxexFxex3、设01,0()0,0,()()1,0xxfxxFxftdtx，则（）（A）()Fx在0x点不连续；（B）()Fx在(,)内连续，在0x点不可导；（C）()Fx在(,)内可导，且满足()()Fxfx；（D）()Fx在(,)内可导，但不一定满足()()Fxfx。4、极限0020sinlimxxxttdttdt＝（）（A）－1；（B）0；（C）1；（D）25、设在区间[,]ab上()0,()0,()0fxfxfx。令1()basfxdx，2()()sfbba31[()()]()2sfafbba，则（）（A）123sss；（B）213sss；（C）312sss；（D）231sss二、填空题：（每小格3分，共30分）21、设()fx的一个原函数是2xe，则它的一个导函数是___________。2、设20()1,(2)2fxdxf，则10(2)_____________xfxdx。3、已知()xxfexe，且(1)0f，则()_________________fx。4、函数11()(2)(0)xFxdtxt的单调减少区间为________________。5、由曲线2yx与yx所围平面图形的面积为___________。三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）1、计算22(1)(1)xdxxx2、计算2tanxxdx3、设1x，求1(1)xtdt4、设21,0(),0xxxfxex，求31(2)fxdx5、120ln(1)(2)xdxx6、计算111dxxx7、已知曲线C的方程为()yfx，点(3,2)是它的一个拐点，直线12,ll分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。设函数()fx具有三队连续导数，计算定积分320()()xxfxdx。四、解答题（本题10分）设()fx连续，10()()xfxtdt，且0()limxfxAx（A为常数），求()x，并讨论()x在0x处的连续性。五、应用题（本题6分）设曲线方程为(0)xyex，把曲线,xyex轴、y轴和直线x(0)所围平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体。（1）旋转体体积()V；（2）求满足1()lim()2VaV的a值。六、证明题（6分）设()fx在[,]ab上连续且单调增加，证明：不等式()()2bbaaabxfxdxfxdx。3不定积分、定积分测验卷答案一．选择题：（每小格3分，共30分）1、（A）3sinaxCax；2、（C）,0()2,0xxexFxex；3、（B）()Fx在(,)内连续，在0x点不可导；4、（C）1；5、（B）213sss。二、填空题：（每小格3分，共30分）1、一个导函数是2()4xfxe。2、103(2)4xfxdx。3、21()(ln)2fxx。4、单调减少区间为1(0,)4。5、13。三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）1、解：222(1)12()ln2arctan(1)1xdxdxxxcxxxx2、解：222tan(sec1)tantantan2xxxdxxxdxxdxxdxxxxdx2tanlncos2xxxxc3、解：被积函数1,10()1,0ttfttt，当10x时，原式211(1)(1)2xtdtx；当0x时，原式02101(1)(1)1(1)2xtdttdtx。4、解：231012111071(2)()(1)3xttfxdxftdttdtedte。5、解：111102000ln(1)111ln(1)()ln(1)(2)22(1)(2)xdxxdxdxxxxxx101111ln2()ln23213dxxx。46、解：因为1lim()xfx，所以1x为瑕点，因此该广义积分为混合型的。212112111111dxdxdxIIxxxxxx2122110211122arctan(1)21xttdtIdxxttxx21221122arctan2()(1)241tdtIdxxttxx；所以12111dxIIxx。7、解：按题意，直接可知(0)0,(3)0,(3)0fff（拐点的必要条件）。从图中还可求出()yfx在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为2,28yxyx。于是(0)2,(3)2ff。所以33322230000()()()()()()()(21)xxfxdxxxdfxxxfxfxxdx33330000(21)()(21)()2()7(3)(0)2()xdfxxfxfxdxfffx7(2)22(20)20。四、解答题（本题10分）解：因为0()limxfxAx，故0lim()0xfx，而已知()fx连续，0lim()(0)0xfxf；由于10()()xfxtdt，令uxt，当:01t时，有:0ux，duxdt；当0x时，有1000()1()()()xxfuduxfxtdtfuduxx；当0x时，有10(0)(0)0fdt；所以0(),0()0,0xfuduxxxx。5当0x时，有02()()()xxfxfuduxx；当0x时，020000()()(0)()()limlimlimlim022xxxxxfuduxxfxAxxxx；所以02()(),0(),02xxfxfuduxxxAx。又因为0022000()()()()lim()limlim()22xxxxxxfxfudufudufxAAxAxxx，所以0lim()(0)2xAx，即()x在0x处连续。五、应用题（本题6分）解：（1）22200()()(1)2xVydxedxe；（2）2()(1)2aVae，于是211()lim()lim(1)2224VaVe；故211(1)lim()ln22242aeVa。六、证明题（6分）证：设()()()[,]2xxaaaxFxtftdtftdtxab因为()fx在[,]ab上连续，所以111()()()()()()[()()]22222xxxaaaaxxaFxxfxftdtfxfxftdtfxftdt因为()fx在[,]ab单调增加，0,()()()()0txftfxfxft，所以()0Fx；所以()Fx在[,]ab单调增加；又()0,Fa所以()()0FbFa，即()()02bbaaabxfxdxfxdx，所以有()()2bbaaabxfxdxfxdx。