第三章三角函数解三角形质量检测

1第三章三角函数、解三角形(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．cos(－17π4)－sin(－17π4)的值是()A.2B．－2C．0D.22解析：原式＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.答案：A2．已知sinα＝2m－5m＋1，cosα＝－mm＋1，且α为第二象限角，则m的允许值为()A.52＜m＜6B．－6＜m＜52C．m＝4D．m＝4或m＝32解析：由sin2α＋cos2α＝1得，(2m－5m＋1)2＋(－mm＋1)2＝1，∴m＝4或32，又sinα＞0，cosα＜0，把m的值代入检验得，m＝4.答案：C3．已知sin(x＋π4)＝－35，则sin2x的值等于()A．－725B.725C．－1825D.1825解析：sin(x＋π4)＝22(sinx＋cosx)＝－35，所以sinx＋cosx＝－325，2所以(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x＝1825，故sin2x＝－725.答案：A4．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin17°＋cos17°，则下列各式中正确的是()A．a＜a2＋b22＜bB．a＜b＜a2＋b22C．b＜a2＋b22＜aD．b＜a＜a2＋b22解析：a＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°，b＝2sin(17°＋45°)＝2sin62°，b＞a.a2＋b22＝sin260°＋sin262°＞2sin60°sin62°＝3sin62°，∴a2＋b22＞b＞a.答案：B5．(2010·惠州模拟)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－π6)的图象，则φ等于()A.π6B.11π6C.7π6D.5π6解析：依题意得y＝sin(x－π6)＝sin(x－π6＋2π)＝sin(x＋11π6)，将y＝sinx的图象向左平移11π6个单位后得到y＝sin(x＋11π6)的图象，即y＝sin(x－π6)的图象．答案：B6．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：cosA＝sin(π2－A)＞sinB，π2－A，B都是锐角，则π2－A＞B，A＋B＜π2，C＞π2.答案：C7．(理)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是()A．y＝sin(x2＋π6)B．y＝sin(2x＋π6)C．y＝sin|x|D．y＝sin(2x－π6)解析：∵T＝2πω＝π，∴ω＝2.对于选项D，又2×π3－π6＝π2，所以x＝π3为对称轴．答案：D38．(文)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.518B.34C.32D.78解析：设等腰三角形的底边为a，顶角为θ，则腰长为2a.由余弦定理得cosθ＝4a2＋4a2－a28a2＝78.答案：D(理)△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为()A.922B.924C.928D．92解析：由余弦定理得：三角形第三边长为22＋32－2×2×3×13＝3，且第三边所对角的正弦值为211()3＝223，所以2R＝3223⇒R＝928.答案：C9．在△ABC中，角A，B所对的边长为a，b，则“a＝b”是“acosA＝bcosB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：a＝b⇒A＝B⇒acosA＝bcosB，条件是充分的；acosA＝bcosB⇒sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，故条件是不必要的．答案：A10．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝π12，则a的值为()A.12B.3C.33D．2解析：函数y＝sinx的对称轴方程为x＝kπ＋π2，k∈Z，f(x)＝a2＋1sin(2x＋φ)，其中tanφ＝1a，故函数f(x)的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，而x＝π12是其一条对称轴方程，所以2×π12＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝kπ＋π3，k∈Z，故tanφ＝1a＝tan(kπ4＋π3)＝3，所以a＝33.答案：C11．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝2cos(x2－π3)B．f(x)＝2cos(4x＋π4)C．f(x)＝2sin(x2－π6)D．f(x)＝2sin(4x＋π4)解析：设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，由函数的最大值为2知A＝2，又由函数图象知该函数的周期T＝4×(5π3－2π3)＝4π，所以ω＝12，将点(0,1)代入得φ＝π6，所以f(x)＝2sin(12x＋π6)＝2cos(12x－π3)．答案：A12．(2010·抚顺模拟)当0＜x＜π2时，函数f(x)＝1＋cos2x＋8sin2xsin2x的最小值为()A．2B．23C．4D．43解析：f(x)＝1＋cos2x＋8sin2xsin2x＝2cos2x＋8sin2x2sinxcosx＝cosxsinx＋4sinxcosx≥2cosxsinx·4sinxcosx＝4，当且仅当cosxsinx＝4sinxcosx，即tanx＝12时，取“＝”，∵0＜x＜π2，∴存在x使tanx＝12，这时f(x)min＝4.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上)13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，C＝75°，a＝4，则b＝________.解析：易知A＝45°，由正弦定理asinA＝bsinB得4sin45°＝bsin60°，解得b＝26.答案：2614．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin240°＝2cos50°2sin40°＝2.答案：2515．在△ABC中，已知tanA＝3tanB，则tan(A－B)的最大值为________，此时角A的大小为________．解析：由于tan(A－B)＝tanA－tanB1＋tanAtanB＝3tanB－tanB1＋3tanB·tanB＝2tanB1＋3tan2B≤33.当且仅当1＝3tanB时取“＝”号，则tanB＝33⇒tanA＝3⇒A＝60°.答案：3360°16．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f(x)的最小正周期为π2；②函数f(x)的振幅为23；③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝7π12；④函数f(x)的单调递增区间为[π12，7π12]；⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－2π3)．解析：由图象可知，函数f(x)的最小正周期为(5π6－π3)×2＝π，故①不正确；函数f(x)的振幅为3，故②不正确；函数f(x)的一条对称轴方程为x＝5π6＋π32＝7π12，故③正确；④不全面，函数f(x)的单调递增区间应为[π12＋2kπ，7π12＋2kπ]，k∈Z；由3sin(2×7π12＋φ)＝3得2×7π12＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－2π3，k∈Z，∵－π＜φ＜π，故k取0，从而φ＝－2π3，故f(x)＝3sin(2x－2π3)．答案：③⑤三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知tan(α＋π4)＝－3，α∈(0，π2)．(1)求tanα的值；(2)求sin(2α－π3)的值．解：(1)由tan(α＋π4)＝－3可得tanα＋11－tanα＝－3.解得tanα＝2.6(2)由tanα＝2，α∈(0，π2)，可得sinα＝255，cosα＝55.因此sin2α＝2sinαcosα＝45，cos2α＝1－2sin2α＝－35，sin(2α－π3)＝sin2αcosπ3－cos2αsinπ3＝45×12＋35×32＝4＋3310.18．(文)(本小题满分12分)已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)．(1)求sin2α－cos2α2的值；(2)求函数f(x)＝56cosαsin2x－12cos2x的单调递增区间．解：∵sin(π－α)＝45，∴sinα＝45.又∵α∈(0，π2)，∴cosα＝35.(1)sin2α－cos2α2＝2sinαcosα－1＋cosα2＝2×45×35－1＋352＝425.(2)f(x)＝56×35sin2x－12cos2x＝22sin(2x－π4)．令2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π8≤x≤kπ＋38π，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－π8，kπ＋38π]，k∈Z.(理)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋3(2cos2x－1)．(1)将函数f(x)化为Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的形式，填写下表，并画出函数f(x)在区间[－16π，56π]上的图象；xωx＋φ0π2π32π2πf(x)7(2)求函数f(x)的单调减区间．解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋3(2cos2x－1)＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3).x－π6π12π37π125π6ωx＋φ0π2π32π2πf(x)020－20图．(2)由2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)，故函数f(x)的单调减区间为[kπ＋π12，kπ＋7π12](k∈Z)．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcos(π2－x)－3sin(π＋x)cosx＋sin(π2＋x)cosx.(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；(2)指出y＝f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称．解：(1)f(x)＝2sin2x＋3sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋3sinxcosx8＝1＋1－cos2x2＋32sin2x＝sin(2x－π6)＋32，y＝f(x)最小正周期T＝π.y＝f(x)的最大值为32＋1＝52，最小值为32－1＝12.(2)∵y＝32＋sin(2x－π6)的图象1232左移个单位下移个单位y＝sin2x的图象．20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＋C2＝33.(1)求cosB的值；(2)若BCBA·BC＝2，b＝22，求a和c的值．解：(1)∵cosA＋C2＝33，∴sinB2＝sin(π2－A＋C2)＝33，∴cosB＝1－2sin2B2＝13.(2)由BA·BC＝2可得a·c·cosB＝2，又cosB＝13，故ac＝6，由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12，∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝6.21．(本小题满分12分)如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东θ(tanθ＝12)的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时．(1)求出发后3小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)．9则x1＝152tcos45°＝15ty1＝x1＝15t，由tanθ＝12可得，cosθ＝255，sinθ＝55，故x2＝105tsinθ＝10t