第三章代数方程SECTION4

1、§4实根的近似计算设f(x)为已知连续函数，ξ是方程f(x)=0的根，这里方程可以是一般方程（代数方程或超越方程）.在实际问题中都给出了根的范围，例如代数方程f(x)=a0xn+a1xn－1++an－1x+an=0的根ξ的范围是ξ1+01amax{a1,a2,,an}因此可以假定方程在区间(a,b)内只有一个根（若有两个根，则将区间的一个端点换为使f(x)=0的点）.并由函数的连续性可知，一般来说，在根的附近f(x)是异号的（当f(ξ)=0或除外），所以在下面介绍的各种近似计算中，都假定f(a)和f(b)异号.一、秦九韶法*秦九韶法基本上是通过逐次试验求根的近似值的方法，试验次数愈多，所得近似值愈接近根的真值.系统地继续这一过程，直至达到预定的有效数字的位数.现举例具体说明这个方法.例求方程f(x)=030183xx(1)的根到五位有效数字.应用笛卡尔符号法则可知这个方程有一个正根.由于f(1)＝－11，f(2)＝14，这个正根在(1,2)之间.现在应用秦九韶法求这个方程的近似根.先设1xp，这里p表示1到所求根的距离.应用多项式的泰勒公式(秦九。

2、韶法,见§2,一)，得到关于p的方程01121323ppp(2)其算式为1d1121313019211811011－－现在求纯小数p的近似值，由于纯小数的三次方或二次方的值更小，可暂舍去方程(2)的头两项而来计算21p－11＝0，即p＝0.5238….但舍去的两项是正的，这个值显得太大.当p＝0.500时，方程(2)的左边各项的和是仍是正数(0.375)，而当p＝0.400时，方程(2)的左边各项的和是负数(－2.056).因此，设)0(4.0hhp,即4.0－＝ph，再应用多项式的泰勒公式，得到关于h的方程0056.288.232.423hhh(3)其算式为*我国古代数学家秦九韶在他所著的数书九章(1247)，给出一个求代数方程的根近似值的方法，这个方法一般书上都称为和纳法.实际上和纳在1819年才提出这个方法，比秦九韶晚五百多年.4.0d056.288.232.411136.228.31214.31311－－现在求小数h的近似值，舍去头两项，求得h＝0.08609….因舍去两个正量，所得的h太大，。

3、所以设h＝0.08)0(qq,即08.0－＝hq.应用上述方法得到关于q的方程0118208.05712.2444.423qqq(4)同上面一样，从方程(4)的后两项求得,00481.0q设)0(004.0rrq,即,004.0qr得到关于r的方程0019852096.0606768.24452.423rrr(5)从后两项求出r的近似值r=0.0008…,因舍去的都是正量，所以方程(5)的根在0.0008和0.00081之间.现在把(2),(3),(4),(5),的各个近似值0.4,0.08,0.004,0.0008相加得总和0.4848,然后加到第一次近似值1上，所以方程(1)的根在1.4848与1.48481之间，取五位有效数字为1.4848.用秦九韶法还能求负的近似值.想求f(x)＝0的一切负实根，可先求f(－x)的正实根，然后改变符号，即得负实根.二、二分法假定f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0（这里假定f(a)0,f(b)0）,取区间[a,b]的中点2ba，若2baf=0，则f(x)=0的根是ξ=2ba.不然，。

4、若2baf0，则令a1=a,b1=2ba；若2baf0，则令a1=2ba,b1=b.于是形成新区间[a1,b1]，它包含f(x)=0的根ξ（图3.2）.再取[a1,b1]的中点211ba，若211baf=0，则ξ=211ba.若211baf0，则令a2=a1,b2=211ba；若211baf0，则令a2=211ba,b2=b1.于是又形成新区间[a2,b2]，其长度等于22ab，它包含方程f(x)=0的根ξ.…若允许误差ε=k10，则按这个过程作出区间[a1,b1],[a2,b2],[a3,b3],,[an,bn],n=2lg)lg(abk（[x]表示x的整数部分），于是ξ*=2nnba是方程f(x)=0的近似根，误差不超过ξ-ξ*12nabk10二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在电子计算机上实现.但是它不能求重根，也不能求虚根.三、迭代法把方程f(x)=0表成它的等价形式x=(x)或一般地f1(x。

5、)=f2(x)式中f1(x)是这样一个函数：对任意实数c，能容易算出方程f1(x)=c的精确度很高的实根.如果对任意ax1b,ax2b，下式成立：1)()(1122qxfxf则下面迭代过程是收敛的.首先从一个近似根x0出发（x0可由图解法粗略估计出），代入方程右边，解方程f1(x)=f2(x0)得到第一个近似根x=x1，再解方程f1(x)=f2(x1)得到第二个近似根x=x2，,类似地由第n个近似根xn，解方程f1(x)=f2(xn)得到第n+1个近似根x=xn+1，于是得到一系列不同精确度的近似根x0,x1,x2,,xn,它收敛于方程的根ξ（图3.3）.收敛速度（即误差消失速度）与an相当，而a0112xxxx用022122xxxx代替x2可加速收敛.式中x1=x2－x1为x1的一阶差分，2x0=x1－x0为x0的二阶差分.对于方程x=(x)，只要(x)在[a,b]上连续，且)(xq1，那末，它的根可由x1=(x0)x2=(x1)xn+1=(xn)来接近（图3.4）.四、牛顿法1．一般牛顿法设f(x)在[a,b。

6、]上连续，)(xf也连续，且)(xf0,)(xf0，f(a)f(b)0（设f(a)0,f(b)0），过点(a,f(a))（或点(b,f(b)）)作曲线的切线：)()(afaxafy（或)()(bfbxbfy）它和x轴的交点为x=a－)()(afaf（或x=b－)()(bfbf）用迭代公式xn+1=xn－)()(nnxfxf并取初始值x0=0)(,0)(,xfbxfa当当可计算出方程f(x)=0的根的近似值（图3.5）.误差－xn不超过)(min)(xfxfbxan一般选取的初始值x0，要满足不等式2)()()(0020xfxfxf2．近似牛顿法如果)(xf不易算出，可改用差商代替，得出近似牛顿法迭代程序：xn+1=xn)()()(2hxfhxfhxfnnn3．逐次压缩牛顿法求实系数代数方程f(x)=a0xn+a1xn-1++an=0的单实根时，用牛顿法求出一个实根x0后，可把多项式的次数降低一次，降低次数后的多项式系数bk为b0=a0bk=ak+x0bk-1(k=1,2,,n－1)然后，再把求出的实根。

7、作为初始近似值，用同法求出再次降低次数的多项式的实根，依此求出全部单实根.4．牛顿法解非线性方程组假设非线性方程组0,0,yxyxu存在一组近似解P0=(x0,y0)，且00pyxyuxu可用迭代公式：xn+1=xn+npnyuyuJ1yn+1=yn+npnxxuuJ1式中Pn为点(xn,yn)，Jn为雅可比式J在Pn的值：npnyxyuxuJ五、弦截法（线性插值法）假设f(x)在[a,b]上连续，)(xf,)(xf都不变号，且f(a)f(b)0（这里假定f(a)0,f(b)0）.过点(a,f(a))和(b,f(b))的直线是：abaxafbfafy)()()((或abxbafbfybf)()()()它和x轴的交点是x=a－)()()()(afbfafab（或x=b－)()()()(afbfbfab）.（a）当)(xf)(xf0时，用迭代公式axafbfbfxbbxnn01)()()()(可求出方程的近似根（图3.6(a)）.（b）当)(。

8、xf)(xf0时，用迭代公式bxafxfafaxaxnnn01)()()()(可求出方程f(x)=0的近似根（图3.6(b)）.六、联合法（牛顿法与弦截法联合使用）假设f(x)在[a,b]上连续，)(xf,)(xf都不变号，且f(a)f(b)0（这里假定f(a)0,f(b)0）.（a）当f(a)与)(xf同号时（图3.7(a)），用迭代公式x1=a)()(afaf1x=b)()()()(bfafbfbax2=x1)()(11xfxf2x=1x)()()()(11111xfxfxfxxxn=xn-1)()(11nnxfxfnx=1nx)()()()(11111nnnnnxfxfxfxx可求出方程f(x)=0的近似根.（b）当f(a)与)(xf异号时（图3.7(b)），用迭代公式x1=a)()()()(afbfafab1x=b)()(bfbfx2=x1)()()()(11111xfxfxfxx2x=1x)()(11xfxf。

9、xn=xn-1)()()()(11111nnnnnxfxfxfxxnx=1nx)()(11nnxfxf可求出方程f(x)=0的近似根.误差nnnxxx或nnnxxx.七、抛物线法（穆勒法）求实系数n次方程f(x)=xn+a1xn-1++an=0(1)的近似根.可先求出f(x)=0的一个根x=r，则f(x)=(x-r)g(x)=(x－r)(xn－1+b1xn－2++bn－1)式中g(x)是n－1次多项式，然后再求出g(x)的根，依此类推，可以求出f(x)=0的全部实根来.首先选取x轴上三点：x0,x1,x2,通过曲线y=f(x)上的三点：(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2))作一抛物线y=P(x)（即拉格朗日插值多项式，见第十七章，§2，三），抛物线与x轴有两个交点，取离x2较近的一点作为x3；再过三点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))作一抛物线（图3.8中的虚线），它与x轴有两个交点，取离x3较近的一点作为x4，依此法作出点xi-2,xi-1,xi，再过三点(。

10、xi-2,f(xi-2)),(xi-1,f(xi-1)),(xi,f(xi))作一抛物线与x轴有两个交点，取离xi较近的一点作为xi+1，等等.对于预先给定的允许误差，当迭代过程进行到xi+1-xi时，就取xi+1作为f(x)=0的一个近似根.由此得到的序列是收敛的.极限值nnxlim，就是方程f(x)=0的根.迭代步骤如下：（1）根据经验对上式（1）可取x0=－1,x1=1,x2=0作为初始值，于是f(x0)=(－1)n+(－1)n－1a1+－an－1+anf(x1)=1+a1++anf(x2)=an或用x=0附近的近似值f(x0)an－2－an－1+anf(x1)an－2+an－1+anf(x2)=an（2）设i=211iiiixxxx,i=1+i=212iiiixxxxgi=f(xi－2)i2－f(xi-1)ii+f(xi)ihi=f(xi-2)i2-f(xi-1)i2+f(xi)(i+i)由此根据xi-2,xi-1,xi计算出i,i,gi,hi，并根据下列公式计算。