第三章--多元线性回归模型的参数估计(2)

第三章经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型•多元线性回归模型•多元线性回归模型的参数估计•多元线性回归模型的统计检验§3.1多元线性回归模型一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假定一、多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式：ikikiiiXXXY22110i=1,2…,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数（regressioncoefficient）。ikikiiiXXXY22110也被称为总体回归函数的随机表达形式。它的非随机表达式为:kikiikiiiiXXXXXXYE2211021),,|(表示：各变量X值固定时Y的平均响应。习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是：模型中解释变量的数目为（k+1）总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为:μXβY其中j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kkβ121nnμ用来估计总体回归函数的样本回归函数为：kikiiiiXXXYˆˆˆˆˆ22110其随机表示式:ikikiiiieXXXYˆˆˆˆ22110ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。样本回归函数的矩阵表达:βXYˆˆ或eβXYˆ其中：kˆˆˆˆ10βneee21e二、多元线性回归模型的基本假定假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性。0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji,,2,1,假设3，解释变量与随机项不相关0),(ijiXCovkj,2,1假设4，随机项满足正态分布),0(~2Ni上述假设的矩阵符号表示式：假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。假设2，0)()()(11nnEEEEμnnEE11)(μμ21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假设4，向量有一多维正态分布，即),(~2I0μN同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重要假设：假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n∞时，假设3，E(X’)=0，即0)()()(11iKiiiiiKiiiiEXEXEXXE其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵knnkxxxx1111x假设6，回归模型的设定是正确的。jjjijiQXXnxn22)(11Qxxn1或§3.2多元线性回归模型的估计一、普通最小二乘估计二、最大似然估计三、参数估计量的性质说明估计方法：3大类方法：OLS、ML或者MM–在经典模型中多应用OLS–在非经典模型中多应用ML或者MM一、普通最小二乘估计•对于随机抽取的n组观测值kjniXYjii,2,1,0,,,2,1),,(如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：KikiiiiXXXYˆˆˆˆˆ22110i=1,2…n•根据最小二乘原理，参数估计值应该是右列方程组的解0ˆ0ˆ0ˆ0ˆ210QQQQk其中2112)ˆ(niiiniiYYeQ2122110))ˆˆˆˆ((nikikiiiXXXY于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(221102222110112211022110解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值$,,,,,jj012。k□正规方程组的矩阵形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111ˆˆˆ即YXβX)X(ˆ由于X’X满秩，故有YXXXβ1)(ˆ将上述过程用矩阵表示如下：即求解方程组：0)ˆ()ˆ(ˆβXYβXYβ0)ˆˆˆˆ(ˆβXXββXYYXβYYβ0)ˆˆˆ2(ˆβXXββXYYYβ0ˆβXXYX得到：YXXXβ1)(ˆβXXYXˆ于是：例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，53650000215002150010111111)(22121iiinnXXXnXXXXXXXX'39468400156741112121iiinnYXYYYYXXXYX可求得：0735.10003.00003.07226.0)(1EXX于是：7770.0172.10339648400156740735.10003.00003.07226.0ˆˆˆ21Eβ⃟正规方程组的另一种写法对于正规方程组βXXYXˆβXXeXβXXˆˆ于是0eX或(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组的另一种写法。(*)(**)0ie0iijieX⃟随机误差项的方差的无偏估计可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为：11ˆ22knkneiee二、最大似然估计•对于多元线性回归模型ikikiiiXXXY22110易知),(~2βXiNYi•Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率)ˆ()ˆ(21))ˆˆˆˆ((212122222211022)2(1)2(1),,,(),ˆ(βXYβXYβeeYYYPLnXXXYnnnkikiiin对数或然函数为)ˆ()ˆ(21)2()(2*βXYβXYnLnLLnL对对数或然函数求极大值，也就是对)ˆ()ˆ(βXYβXY求极小值。即为变量Y的似然函数三、参数估计量的性质在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计、最大似然估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性CYYXXXβ1)(ˆ其中,C=(X’X)-1X’为一仅与固定的X有关的行向量2、无偏性βμXXXβμXβXXXYXXXβ11)()())()(())(()ˆ(1EEEE这里利用了假设:E(X’)=03、有效性（最小方差性）其中利用了YXXXβ1)(ˆμXXXβμXβXXX11)()()(和Iμμ2)(E§3.3多元线性回归模型的统计检验一、拟合优度检验二、方程的显著性检验(F检验)三、变量的显著性检验（t检验）一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数则2222)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ())ˆ()ˆ(()(YYYYYYYYYYYYYYTSSiiiiiiiiii总离差平方和的分解由于:)ˆ()ˆ)(ˆ(YYeYYYYiiiiikiikiiieYXeXeeˆˆˆ110=0所以有：ESSRSSYYYYTSSiii22)ˆ()ˆ(注意：一个有趣的现象222222ˆˆˆˆˆˆYYYYYYYYYYYYYYYYYYiiiiiiiiiiii可决系数TSSRSSTSSESSR12该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大（Why?)这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。调整的可决系数（adjustedcoefficientofdetermination）在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:)1/()1/(12nTSSknRSSR其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。11)1(122knnRR二、方程的显著性检验(F检验)方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。1、方程显著性的F检验即检验模型Yi=0+1X1i+2X2i++kXki+ii=1,2,,n中的参数j是否显著不为0。可提出如下原假设与备择假设：H0：1=2==k=0H1：j不全为0F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS由于回归平方和2ˆiyESS是解释变量X的联合体对被解释变量Y的线性作用的结果，考虑比值22ˆ/iieyRSSESS如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量)1/(/knRSSkESSF服从自由度为(k,n-k-1)的F分布。给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过FF(k,n-k-1)或F≤F(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。对于中国居民人均消费支出的例子：一元模型：F=2859.2二元模型：F=2057.3给定显著性水平=0.05，查分布表，得到临界值：一元例：F(1,21)=4.32二元例：F(2,19)=3.52显然有FF(k,n-k-1)，即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论由)1/()1/(12nTSSknRSSR)1/(/knRSSkESSF可推出：kFkn