第三章复变函数的积分练习题

1第三章复变函数的积分练习题一、选择题：1．设c为从原点沿2yx至1i的弧段，则2()cxiydz()（A）1566i（B）1566i（C）1566i（D）1566i2．设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则2(1)(1)Czdzzz为()（A）2i（B）2i（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1zc为负向，3:2zc正向，则dzzzccc212sin()（A）i2（B）0（C）i2（D）i44．设c为正向圆周2z，则dzzzc2)1(cos()（A）1sin（B）1sin（C）1sin2i（D）1sin2i5．设c为正向圆周21z，则dzzzzc23)1(21cos()（A）)1sin1cos3(2i（B）0（C）1cos6i（D）1sin2i6．设dzezf4)(，其中4z，则）if(()（A）i2（B）1（C）i2（D）17．设)(zf在单连通域B内处处解析且不为零，c为B内任何一条简单闭曲线，则积分dzzfzfzfzfc)()()(2)(()（A）于i2（B）等于i2（C）等于0（D）不能确定8．设c是从0到i21的直线段，则积分czdzze（）（A）21e(B)21e(C)ie21(D)ie219．设c为正向圆周0222xyx，则dzzzc1)4sin(2()2（A）i22（B）i2（C）0（D）i2210．设c为正向圆周iaiz,1，则cdziazz2)(cos()（A）ie2（B）ei2（C）0（D）iicos11．设)(zf在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果)(zf在c上的值为2，那么对c内任一点0z,)(0zf()（A）等于0（B）等于1（C）等于2（D）不能确定12．下列命题中，不正确的是()（A）积分razdzaz1的值与半径)0(rr的大小无关（B）2)(22cdziyx,其中c为连接i到i的线段（C）若在区域D内有)()(zgzf，则在D内)(zg存在且解析（D）若)(zf在10z内解析，且沿任何圆周)10(:rrzc的积分等于零，则)(zf在0z处解析13．设c为任意实常数，那么由调和函数22yxu确定的解析函数ivuzf)(是()(A)ciz2（B）iciz2（C）cz2（D）icz214．下列命题中，正确的是()（A）设21,vv在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有21vv（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若ivuzf)(在区域D内解析，则xu为D内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(yxv在区域D内为),(yxu的共轭调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是()（A）),(),(yxiuyxv（B）),(),(yxiuyxv3（C）),(),(yxivyxu（D）xvixu二、填空题1．设c为沿原点0z到点iz1的直线段，则cdzz22．设c为正向圆周14z，则cdzzzz22)4(233．设2sin()2()fzdz,其中2z，则)3(f4．设c为正向圆周3z，则cdzzzz5．设c为负向圆周4z，则5()zcedzzi6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设()fz在单连通域D内连续，且对于D内任何一条简单闭曲线c都有()0cfzdz，那么()fz在D内8．调和函数(,)xyxy的共轭调和函数为9．若函数32(,)uxyxaxy为某一解析函数的虚部，则常数a10．设(,)uxy的共轭调和函数为(,)vxy，那么(,)vxy的共轭调和函数为三、计算积分1.26(1)(2)zRzdzzz,其中0,1RR且2R;2.42222zdzzz．四、设()fz在单连通域D内解析，且满足1()1()fzzD.试证１．在D内处处有()0fz；２．对于D内任意一条闭曲线c，都有()0()cfzdzfz4五、设()fz在圆域zaR内解析，若max()()(0)zarfzMrrR，则()!()()(1,2,)nnnMrfanr.六、求积分1zzedzz，从而证明cos0cos(sin)ed.七、设()fz在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数,ab，试求极限()lim()()RzRfzdzzazb并由此推证()()fafb（刘维尔Liouville定理）.八、设()fz在(1)zRR内解析，且(0)1,(0)2ff，试计算积分221()(1)zfzzdzz并由此得出220cos()2ifed之值.九、设()fzuiv是z的解析函数，证明222222222ln(1())ln(1())4()(1())fzfzfzxyfz.十、证明：若(,)uxy与(,)vxy均是区域D内的调和函数，则,,abC函数(,)(,)auxybvxy仍是区域D内的调和函数.