第三章基本初等函数知识点总结

第1页第三章基本初等函数第一讲幂函数1、幂函数的定义一般地，形如yx（xR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数.如11234,,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：yx中，前面的系数为1，且没有常数项2、幂函数的图像（1）yx（2）12yx（3）2yx（4）1yx（5）3yxyx2yx3yx12yx1yx定义域RRR|0xx|0xx奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图第2页象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．第二讲指数函数1、指数（1）n次方根的定义若xn=a，则称x为a的n次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n为奇数时，nna=a.②当n为偶数时，nna=|a|=).0(),0(aaaa（3）分数指数幂的意义①anm=nma（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.第3页②anm=nma1=nma1（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）.2、指数函数的定义一般地，函数xya（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.说明：因为a＞0，x是任意一个实数时，xa是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.000,0xxaaxax当时,等于若当时,无意义若a＜0，如1(2),,8xyxx1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a=1,11,xy是一个常量，5,,3,31xxxayxyy1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)xyaaa且的形式,所以不是指数函数.3、指数函数的图像及其性质OxyOxyy=ax11a）1y=ax((0＜a＜1)图象特征函数性质a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）0a=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x＞0，xa＞1x＞0，xa＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x＜0，xa＜1x＜0，xa＞1第4页（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.（2）在[,]xabfxa上,()=（a＞0且a≠1）值域是[(),()][(),()];fafbfbfa或（3）若0,xfxfxx则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（4）对于指数函数()xfxa（a＞0且a≠1），总有(1);fa（5）当a＞1时，若1x＜2x，则1()fx＜2()fx；第三讲对数函数1、对数（1）对数的概念一般地，若(0,1)xaNaa且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxNa叫做对数的底数，N叫做真数.如：24416,2log16则，读作2是以4为底，16的对数.1242，则41log22，读作12是以4为底2的对数.（2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①loga（MN）=logaM+logaN.②logaNM=logaM－logaN.③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN=bNaaloglog（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.（4）两类对数①以10为底的对数称为常用对数，10logN常记为lgN.②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，logeN常记为lnN.以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002.2、对数函数的概念一般地，我们把函数logayx（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是第5页（0，+∞）．3、对数函数的图象及其性质Oxyy=logxaOxyaay=logxa11110(())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.图象的特征函数的性质（1）图象都在y轴的右边（1）定义域是（0，+∞）（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1的对数是0（3）从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降.（3）当a＞1时，logxay是增函数，当0＜a＜1时，logayx是减函数.（4）当a＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.当0＜a＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0.（4）当a＞1时x＞1，则logax＞00＜x＜1，logax＜0当0＜a＜1时x＞1，则logax＜00＜x＜1，logax＜0由上述表格可知，对数函数的性质如下a＞10＜a＜1性质（1）定义域（0，+∞）；（2）值域R；（3）过点（1，0），即当x=1，y=0；（4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数