第三章导数练习题及答案函数的最值

根据条件确定函数的参数是否存在例已知函数1log)(223cxxbaxxxf，是否存在实数a、b、c，使)(xf同时满足下列三个条件：（1）定义域为R的奇函数；（2）在,1上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由．分析：本题是解决存在性的问题，首先假设三个参数a、b、c存在，然后用三个已给条件逐一确定a、b、c的值．解：)(xf是奇函数.1,0log0)0(3bbf又)()(xfxf，即11log11log223223cxxaxxcxxaxx，∴222222222222)1()1(1111xcxxaxaxxcxxcxxaxx．∴caca22或ca，但ca时，0)(xf，不合题意；故ca．这时11log)(223cxxcxxxf在,1上是增函数，且最大值是1．设11)(22cxxcxxxu在,1上是增函数，且最大值是3．222222222)1()1)(1(2)1()1(2)1()1)(2()1)(2()(cxxxxccxxxccxxcxxcxcxxcxxu，当1x时0)(012xux，故0c；又当1x时，0)(xu；当)1,1(x时，0)(xu；故0c，又当1x时，0)(xu，当)1,1(x时，0)(xu．所以)(xu在),1()1,(是增函数，在（－1，1）上是减函数．又1x时，1,1)(,1122xxucxxcxx时)(xu最大值为3．∴.1,1,31111accc经验证：1,1,1cba时，)(xf符合题设条件，所以存在满足条件的a、b、c，即.1,1,1cba说明：此题是综合性较强的存在性问题，对于拓宽思路，开阔视野很有指导意义．此题若用相等方法解决是十分繁杂的，甚至无技可施．若用求导数的方法解决就迎刃而解．因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法．切不可忘记．供水站建在何处使水管费最少例有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？分析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．解：解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则222240,50,40xCDBDBCxACBD又设总的水管费用为y元，依题意有).500(405)50(322xxaxay224053xaxay．令0y，解得.30x在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在30x（km）处取得最小值，此时2050xAC（km）．∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．解法二：设BCD，则).20(,cot40,sin40CDBC∴cot4050AC．设总的水管费用为)(f，依题意，有sincos3540150sin405)cot4050(3)(aaaaf∴2sin)(sin)cos35(sin)cos35(40)(af2sincos5340a令0)(f，得53cos．根据问题的实际意义，当53cos时，函数取得最小值，此时20cot4050,43cot,54sinAC（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．说明：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择．利用导数求函数的最值例求下列函数的最值：1．)33(,3)(3xxxxf；2．)22(,2sin)(xxxxf；3．)0,0,10(,1)(22baxxbxaxf4．21)(xxxf．分析：函数)(xf在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间ba,上函数的最值时，只需求出函数)(xf在开区间),(ba内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．解：1．233)(xxf，令0)(xf，得1x，∴2)1(,2)1(ff．又.18)3(,0)3(ff∴.18)]([,2)]([minmaxxfxf2．12cos2)(xxf，令0)(xf，得6x，∴6236,6236ff，又22,22ff．∴.2)]([,2)]([minmaxxfxf3．2222222222)1()1()1()(xxxaxbxbxaxf．令0)(xf，即0)1(2222xaxb，解得.baax当baax0时，0)(xf，当1xbaa时，0)(xf．∴函数)(xf在点baax处取得极小值，也是最小值为.)(2babaaf即2min)()]([baxf．4．函数定义域为11x，当)1,1(x时，.11)(2xxxf令0)(xf，解得22x，∴222f，又1)1(,1)1(ff，∴.1)]([,2)]([minmaxxfxf说明：对于闭区间ba,上的连续函数，如果在相应开区间),(ba内可导，求ba,上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大（或最小）的函数值，就是最大（或最小）值．解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距．运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病．求两变量乘积的最大值例已知yx、为正实数，且满足关系式04222yxx，求yx的最大值．分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将yx、表示为某一变量（x或y或其它变量）的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值．解：解法一：222221,0,24xxyyxxy，∴2221xxxyx．由0202xxx解得20x．设).20(221)(2xxxxxyxf当20x时，222)1(221)(xxxxxxxf222)23(xxxx．令0)(xf，得23x或0x（舍）．∴83323f，又0)2(f，∴函数)(xf的最大值为833．即yx的最大值为833．解法二：由04222yxx得)0,0(14)1(22yxyx，设)0(sin21,cos1yx，∴)cos1(sin21yx，设)cos1(sin21)(f，则cos)cos1(sin21)(2f.21cos)1(cos)1coscos2(212令0)(f，得1cos或21cos．3,0，此时.43,23yx∴.8333,8333maxff即当43,23yx时，.833maxyx说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑．