第三章第六节倍角公式和半角公式

第三章第六节倍角公式和半角公式题组一三角函数求值1.如果α∈(π2，π)，且sinα＝45，那么sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝()A.425B．－425C.325D．－325解析：∵sinα＝45，π2＜α＜π，∴cosα＝－35，而sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝2sin(α＋π2)＝2cosα＝－325.答案：D2．已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值是()A．－79B．－13C.13D.79解析：cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin2(π6－α)]＝－79.答案：A3．在△ABC中，已知cos(π4＋A)＝35，则cos2A的值为______．解析：cos(π4＋A)＝cosπ4cosA－sinπ4sinA＝22(cosA－sinA)＝35，∴cosA－sinA＝325＞0.①∴0＜A＜π4，∴0＜2A＜π2由①两边平方得1－sin2A＝1825，∴sin2A＝725.∴cos2A＝1－sin22A＝2425.答案：24254．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.(1)求f(π4)的值；(2)设α∈(0，π)，f(α2)＝22，求sinα的值．解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x，∴f(π4)＝sinπ2＋cosπ2＝1.(2)∵f(α2)＝sinα＋cosα＝22.∴sin(α＋π4)＝12，cos(α＋π4)＝±32.sinα＝sin(α＋π4－π4)＝12×22－(±32)×22＝2∓64.∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝2＋64.题组二三角函数式的化简与证明5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是()A．(－π4，π4)B．(0，π2)C．(π4，3π4)D．(π2，π)解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(π2，π)．答案：D6．化简2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α等于()A．1B．－1C．cosαD．－sinα解析：原式＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α·sin2π4＋α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝1.答案：A7．求证：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x.证明：左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x＝sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x14sin22x＝1－12sin22x14sin22x＝1－12sin22x181－cos4x＝8－4sin22x1－cos4x＝4＋4cos22x1－cos4x＝4＋21＋cos4x1－cos4x＝23＋cos4x1－cos4x＝右边．∴tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x.题组三三角恒等变换的综合应用8.若0≤α≤2π，sinα＞3cosα，则α的取值范围是()A．(π3，π2)B．(π3，π)C．(π3，4π3)D．(π3，3π2)解析：sinα＞3cosα，即sinα－3cosα＞0，即2sin(α－π3)＞0，即sin(α－π3)＞0.又0≤α≤2π，故－π3≤α－π3≤5π3.综上，0＜α－π3＜π，即π3＜α＜4π3.答案：C9．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)·sin2x，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数解析：f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2x·sin2x＝12sin22x＝14(1－cos4x)．周期T＝2π4＝π2，y＝14(1－cos4x)是偶函数．答案：D10．已知0απ，sinα＋cosα＝12，则cos2αsinα－π4的值为()A．－72B．－22C.22D.72解析：由sinα＋cosα＝12得，1＋2sinαcosα＝14，所以sinαcosα＝－38，可解得sinα＝1＋74，cosα＝1－74，∴cos2αsinα－π4＝2cos2α－122sinα－22cosα＝－22.答案：B11．已知函数f(x)＝2sin2(π4＋x)－3cos2x，x∈[π4，π2]．(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式|f(x)－m|2在x∈[π4，π2]上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝[1－cos(π2＋2x)]－3cos2x＝1＋sin2x－3cos2x＝1＋2sin(2x－π3)，又∵x∈[π4，π2]，∴π6≤2x－π3≤2π3，∴12≤sin(2x－π3)≤1，即2≤1＋2sin(2x－π3)≤3.∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.(2)∵|f(x)－m|2⇔f(x)－2mf(x)＋2(π4≤x≤π2)．∴mf(x)max－2且mf(x)min＋2，∴1m4，即m的取值范围是(1,4)．12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)一个周期的图象如图所示．(1)求函数f(x)的表达式；(2)若f(α)＋f(α－π3)＝2425，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．解：(1)从图知，函数的最大值为1，则A＝1.函数f(x)的周期为T＝4×(π12＋π6)＝π.而T＝2πω，则ω＝2.又x＝－π6时，y＝0，∴sin[2×(－π6)＋φ]＝0.而－π2＜φ＜π2，则φ＝π3，∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋π3)．(2)由f(α)＋f(α－π3)＝2425，得sin(2α＋π3)＋sin(2α－π3)＝2425，即2sin2αcosπ3＝2425，∴2sinαcosα＝2425.∴(sinα＋cosα)2＝1＋2425＝4925.∵2sinαcosα＝2425＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝75.