第三章静态电磁场

第三章静态电磁场1.静电场中，电位函数满足的方程及其边界条件电位函数的引入及其方程的推导过程。我们以图解的方式表示0关于，一方面它有确切的物理含义，即表示空间任意两点的电势差，等于将单位电荷在电场E中从一点p移到另一点0p所作的功。另一方面在计算上它又带来极大的方便。通常计算标量比计算矢量容易得多，这就是在计算静电场时经常从计算入手的原因。电位满足的边界条件：21snn11223种情况下电位满足的边界条件：介质1，2均为理想介质21DE0E泊松方程2拉普拉斯方程0200dlE）（snn1122介质1为导体，介质2为理想介质)(0常数sn介质1，2均为导电介质，在恒定电流情况2101122nn2.静电场的能量，能密度；导体上的静电力与一个电荷分布相联系的势能可写成：vedvW21或vedvEDW21其中第一个积分中的v包含所有的电荷分布，第二式则包含所有E不为零的空间。能量密度为：EDWe21当ED时：221EWe导体上的静电力分两种情况：常eWF常qeWF3.恒定电场的方程和边界条件微分方程：0E0J)(KEJ积分方程：0dlEL0sdsJ其中K表示电源作用在单位正电荷上的非静电力。电位所满足的方程)()(02电源内部电源外部K在两导体交界面上的边界条件：21nn22114.恒定电流的磁场磁失势所满足的方程及边界条件磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示电流环磁失势满足的边界条件：12AAsAAn)11(ˆ1122JHAB0BJA2LrrdlIA''4vrrdvJA''4磁失势所满足的方程及边界条件：磁失势的引入及方程的推导过程我们以图解的方式表示其中m引入的条件是无传导电流的单连通区域如电流是环形分布的，磁标势适合的区域只能是挖去环形电流所围成的壳形之后剩下的区域。否则对于空间同一点，m值就不是单值的。例如，我们讨论一个环形电流附近区域（电流环除外）。该区域由于无传导电流，据条件1）可用m描述。利用LIdlH其中L是穿过电流环的。所以I。另外LLLmmmmIddldlH122m、1m是闭合线积分始点与终点的值。这说明对空间同一点，m不是单值的。若要0BmH0Hm00)()(0VVmpmpdlHrV02mm)(0HB0mH求m单值，对上述积分路径应有限制，即积分路径不允许旁边以电流环为边界的任意曲面。引入磁标势和磁荷的概念在于我们可借助于静电学中的方法使之简化计算。磁标势m满足的边界条件：21mmnnmm22115.磁场的能量与能密度磁场的能量vmdvAJW21或vmdvBHW21其中第一个积分式中的v包含所有不为零的区域，第二式则包含所有B不为零的空间。3-2.解：电场分布：设同轴线内导体上电荷面密度为s，利用高斯定理，brassalrlDdsD22rraDs2rrraEs内外导体的电势差abardradrEVsbasbaln)/ln(abaVs则rrabrVE)/ln(磁场分布：根据安培环路定理，braLIdlHIrH2erIH2能流密度矢量brazeabrIVHES)/ln(223-3.在无电荷区域，若介质为均匀介质，电势满足拉普拉斯方程020222222zyx若为极大，则：022x，022y，022z这不满足拉普拉斯方程，即不能有极大值；若为极小，则：022x，022y，022z不满足拉普拉斯方程，即不能有极小值。若介质为非均匀介质0)(2EEED12取直角坐标：)(1222222zzyyxxzyx若为极大或极小值，则0zyx0222222zyx依前分析，既不能达到极大值，也不能达到极小值。3-4.解：①介质界面上：nnDD210sf电容器内E与D只有法向分量：2211EE1212EE电容器极板上：11sfnD22sfnD12211221112211)()(sfllllDlElE222111)(sfsfll②介质分界面上：nnDD21)1()1(10120212nnnnspDDPPnD)11(2102112120)(ll③若介质漏电：EJJJJnn21nnEE2211)(22112221112211lllJlJlElEnn)(122121llJ)(1221211llJE)(1221122llJE据sfnnDDDDn1212)(ˆ得：)(12212111llDnsf)(12212122llDnsf)()(12212112123llDDnnsf介质漏电，介质分界面上)1()1(10120212nnnnspDDPP)()]()([1221012021ll3-6.解：据高斯定理：ldsDsllLQlrlDl2rlQD2rrrlQDE2电容器的电容：内外导体的电位差)ln(2abLQdrEba)ln(2abLQC介质所受到的作用力F：电容器所储存的能量qVW21221CV其中C由两部分的电容并联而成；设介质被抽出的一段长为x，C便等于无介质部分的电容1C与有介质部分的电容2C的迭加，即)ln()(2)ln(2021abxLabxCCC])([)ln(20xLab则CVW22])([)ln(2202xLabVxeabVxWFxeˆ)()ln(02ˆ常3-7.据ttEE21nnJJ21nnEE2211ntEEtg111ntEEtg222nttnEEEEtgtg221121nnEE21123-8.解：据边界条件：sfnnDD12sfnnnnEE22111122在界面两侧，当0h时02121dlE21在面偶极层两侧：2112dlE偶极层间电场00,sfsfnnEE0,hsf则pn0121利用0,12nnsDDQdsD02211nn3-9.解：0,0BBBBzyx由AB得：0zAyAyz0xAzAzx0ByAxAxy可得一解为：0yzAAyBAx0还可得另一解为：0zxAAxBAy0还存在其它解。两者之差的旋度：00ˆˆˆ)ˆˆ()ˆˆ(0000xByBzyxeeeeyBexBeAeAzyxxyxxyy3-10.证明：设线圈中的电流分别为2,1II线圈1对线圈2的作用力为12312121122012)(4LLrrdlIdlIf123121212210)(4LLrrdldlII])()([43121221312112221012rrdldlrdlrdlIILL其中：0)1(11212231212222dsrrdlrrdlsLL123122121012124rrdldlIIfLL同理可证：213122121021124rrdldlIIfLL其中：2112rr321312rr则：2112ff3-11.证明：选柱坐标：ABzrzrrzeArrArrerAzAezAAr]1)(1[)()1(因为：eBrA020)(1BerArrBz)()()(BACCABCBA