第三讲一阶导数应用

1导数的应用一.微分中值定理1、罗尔定理若()fx满足：（1）在闭区间[,]ab上连续,（2）在开区间,ab内可导,（3）()()fafb，则在,ab内至少存在一点，使得()0()fab.2、拉格朗日中值定理若()fx满足（1）在闭区间[,]ab上连续,（2）在开区间,ab内可导,则在,ab内至少存在一点，使得()()()()fbfafba()ab.3、柯西定理设函数()fx，()gx满足：（1）在[,]ab上连续，（2）在,ab内可导，（3）()0gx，则在,ab内至少存在一点，使得()()()()()()fbfafgbgag()ab.4、泰勒定理设函数()fx在点0x的某个邻域内具有直到1n阶导数，则对该邻域内异于0x的任意点x，在x与0x之间至少存在一点存在，使得()20000000()()()()()()()()(),1!2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRxn其中(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn称为()fx在点0x的n阶泰勒余项.二.洛必达法则1、“00”型:若lim()0,lim()0fxgx，且()lim()fxgx存在或为，则()()limlim()()fxfxgxgx.2、“”型:若lim(),lim()fxgx，且()lim()fxgx存在或为，则()()limlim()()fxfxgxgx.3、其它类型的未定式00-1“0?；“”；“”；“0?；“”先化为“00”型或“”型，再用求极限.2函数单调性的判别方法、函数极值与最值的求法1、函数单调性的判别法设()fx在[,]ab上连续，在,ab内可导，则有（1）如果()0,,fxxab，则()fx在[,]ab上单调增加;（2）如果()0,,fxxab，则()fx在[,]ab上单调减少.2、函数极值的判别法（1）第一判别法设()fx在点0x的邻域00(,)xx内连续，在00(,)xx及00(,)xx内可导，则有x00(,)xx0x00(,)xx()fx+0或不存在-()fx极大及x00(,)xx0x00(,)xx'()fx-0或不存在+()fx极小显然，若()fx经过点0x时不变号，则0()fx不是极值.（2）第二判别法若0()0fx，0()0fx，则当0()0fx时，0()fx为极小值；当0()0fx时，0()fx为极大值.3、函数的最值（1）闭区间[,]ab上的最值求法：比较()fx的驻点，导数不存在但()fx有定义的点，以及区间的端点这三类点的函数值即可.（2）开区间,ab内的最值求法：若()fx在开区间,ab内连续，且只有唯一一个极值点0x，则可断定0()fx就是相应的最值.函数图形凹凸性与拐点的判定：函数图形凹凸性的判定（1）如果()0,,fxxab，则曲线()yfx在,ab内凹；（2）如果()0,,fxxab，则曲线()yfx在,ab内凸.拐点：曲线上凸与凹的分界点称为曲线的拐点.渐近线水平渐近线yb：lim()xfxb或lim()xfxb；铅直渐近线xa：0lim()xxfx或0lim()xxfx；3斜渐近线ykxb：lim[()()]0xfxkxb，其中()limxfxkx，lim[()]xbfxkx.弧微分（1）(),(),xtyt，22[()][()]dsttdt；（2）()yyx，21[()]dsyxdx；（3）()rr，22[()][()]dsrrd；（4）空间曲线：()xt，()yt，()zwt，222[()][()][()]dsttwtdt.平面曲线的曲率与曲率半径（1）定义：1||,dkRdsK.（2）曲率公式：若()yyx，则23/2||[(1)]yky；若()()xtyt，则223/2|()()()()|{[()()]}ttttktt.典型例题1、函数的极值驻点←极值点(1)可能极值点:xf/不存在的点与0xf/的点。（驻点）(2)判别方法:ⅰ、一阶导数变号。ⅱ、二阶0xf//，0)f(x0)f(x00例1.设xfy满足0y4y2y///，且0xf,0xf0/，则xf在0x点处AA、取得极大值B、取得最小值C、在0x某邻域内单增D、在0x某邻域内单减例3.设函数xf在0x的某邻域内可导，且00f/，21xsin(x)flim/0x，则0f是xf的极大值。2、函数的最大值与最小值极小值极大值4例8在椭圆)0,0(12222babyax的第一象限上求一点，使该点的切线、椭圆及两坐标轴所围平面图形的面积最小.解椭圆在),(yxP处的切线方程为：22()bxYyXxay或22()()0xyXxYyab令0X时，ybyyaxbY2222;令0Y时，2222ayaXxxbx所围平面图形的面积为：221124abSabxy322142ababxax令axxaxxf0,)(2222222)(xaxxaxf，令0)(xf得：2ax（唯一），此时，2by.故所求的点为2,2baP.3、曲线的凹凸、拐点及渐近线在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点0xf//和xf//不存在的点4证明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例4.当1x0,1p,证明:1x1x2ppp1证:设ppx1xxf,则1p1p/x1ppxxf令0xf/,21x驻点唯一511f0f,p11p22121f当1p,1p211→xf在1,0上最大值为1,最小值为p12∴11x22ppp1例4、设e，证明证明：即证lnln设xxlnxf,0xxln1xf2/,ex时∴xf单减例5、设xf在c,0上可导，且xf/单调减，00f证明：bfafbaf，0ab证：令afxfaxfxF;xfaxfxF///∵xf/单调减,0a，xax，xfaxf//∴/0Fx，即xF单调减()0,fxb　，00FbF即bfafbaf三、中值定理（泰勒公式放入泰勒级数中讲）例1设1x31x21xxxg，则在（-1，0）内，方程0xg/有2个实根；在（-1，1）内0xg//有2个根例2设xf在[0，1]可导，且01f0f,证明存在使/0ff。解:设xfexFx，且1F0F由罗尔定理,存在使0F/即0ff/例9设)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且121,0)1()0(fff.试证：)1,0(,使1)(f.6证：设xxfxF)()(,则1)1(,2121FF.由零点定理，1,12c，使0)(cF.又0)0(F，由罗尔定理