第三讲多维随机变量及其分布文档

考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站！声明：本资料由考试吧（Exam8.com）收集整理，转载请注明出自服务：面向校园，提供计算机等级考试，计算机软件水平考试,英语四六级，研究生考试等校园相关考试信息。特色：提供历年试题，模拟试题，模拟盘，教程，专业课试题下载等。资料丰富，更新快！考试交流论坛：考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站！服务：面向较高学历人群，提供计算机类，外语类，学历类，资格类，四大类考试的全套考试信息服务.特色：极力推崇人性化服务！让您最便捷的在最短时间内得到对您最有价值考试信息！坚持每日更新!!!第三讲多维随机变量及其分布考试要求1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、各种分布与随机变量的独立性1.各种分布（1）一般二维随机变量F（x,y）=P{Xx,Yy},x（−,+）,y（−,+）的性质F（x,y）为联合分布函数1）0≤F（x,y）≤1,x（−,+）,,y（−,+）;2）F（−,y）=F（x,−）=0,F（+,+）=1;3）F（x,y）关于x,y均为单调不减函数；4）F（x,y）关于x,y均分别右连续.（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,,pij0,1ijjip.边缘分布律pi=P{X=xi}=jjip,i=1,2,,pj=P{Y=yj}=ijip,j=1,2,,条件分布律P{X=xi|Y=yj}=jjipp,P{Y=yj|X=xi}=ijipp.考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站！二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f（x,y）为联合概率密度1f（x,y）≥0,21),(dxdyyxf.设（X,Y）~f（x,y）则分布函数:xydxdyyxfyxF),(),(;边缘概率密度:),()(dyyxfxfX,),()(dxyxfxfY.条件概率密度:)(),()|(|yfyxfyxfYYX,)(),()|(|xfyxfxyfXXY.DdxdyyxfDYXP),(}),{(.),(),(yxyxFyxf22.随机变量的独立性和相关性X和Y相互独立F（x,y）=FX（x）FY（y）;pij=pipj（离散型）f（x,y）=fX（x）fY（y）（连续型）【注】1X与Y独立,f（x）,g（x）为连续函数f（X）与g（Y）也独立.2若X1,,Xm,Y1,,Yn相互独立,f,g分别为m元与n元连续函数f（X1,,Xm）与g（Y1,,Yn）也独立.3常数与任何随机变量独立.3.常见的二维分布（1）二维均匀分布（X,Y）~U（D）,D为一平面区域.联合概率密度为.,.),(,)(),(其他01DyxDSyxf（2）二维正态分布（X,Y）~N（μ1,μ2,12,22,）,−μ1,μ2+,10,20,||1.联合概率密度为221121),(yx22222121212122121)())(()()(yyxxe性质:（a）X~N（μ1,12）,Y~N（μ2,22）（b）X与Y相互独立XY=0,即X与Y不相关.考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站！（c）C1X+C2Y~N（C1μ1+C2μ2,C1212+C2222+2C1C212）.（d）X关于Y=y的条件分布为正态分布:)](),([22122111yN【例1】设A，B为事件，且P（A）＝41,P（B|A）＝21,P（A|B）＝12令X＝否则发生若,0,1A,Y＝否则发生若,0B,1（1）试求（X,Y）的联合分布律；（2）计算Cov（X,Y）；（3）计算22(2,43)CovXY.【例2】设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X,Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.YX1y2y3yiipxXP}{1x812x81jjpyYP}{611【例3】设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为313221PX　　　　　　　　　　　　　　　记YXVYXU,min,,max.（I）求（U,V）的概率分布;（II）求（U,V）的协方差Cov（U,V）.【详解】（I）易知U,V的可能取值均为:1,2.且})1,min,1,(max)1,1(YXYXPVUP考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站！)1,1(YXP94)1()1(YPXP,0})2,min,1,(max)2,1(YXYXPVUP,})1,min,2,(max)1,2(YXYXPVUP)2,1()1,2(YXPYXP)2()1()1()2(YPXPYPXP94,})2,min,2,(max)2,2(YXYXPVUP)2()2()2,2(YPXPYXP91,故（U,V）的概率分布为:VU12129409491（II）9122941209411)(UVE916,而914952941)(UE,910912981)(VE.故814910914916)()()(),(VEUEUVEVUCov.【例4】设随机变量X在区间（0,1）上服从均匀分布,在)10(xxX的条件下,随机变量Y在区间),0(x上服从均匀分布,求（Ⅰ）随机变量X和Y的联合概率密度;（Ⅱ）Y的概率密度;（Ⅲ）概率}1{YXP.二、二维（或两个）随机变量函数的分布1．分布的可加性（1）若X~B（m,p）,Y~B（n,p）,且X与Y相互独立，则X+Y~B（m+n,p）.（2）若X~P（λ1）,Y~P（λ2）,且X与Y相互独立，则X+Y~P（λ1+λ2）.考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站！（3）若X~N（211,）,Y~P（222,）,且X与Y相互独立，则X+Y~N（221212,）.一般地，若Xi~N（2,ii）,i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn相互独立，则Y=C1X1+C2X2+…+CnXn+C仍服从正态分布，且此正态分布为2211(,),nniiiiiiNCCC其中C1，…，Cn为不全为零的常数.2.两个随机变量函数的分布.【例5】设X与Y相互独立,且~(1),~(2),XPYP则{max(,)0}______;PXY{min(,)0}__________.PXY【例6】设X与Y相互独立,其密度函数分别为:1,01,()Xxfx0,其他.,0,()yYeyfx0,其他.求Z＝2X＋Y的概率密度.【例7】设二维随机变量（X,Y）的概率密度为2,01,01,(,)0,xyxyfxy其它.（I）求YXP2；（II）求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(zfZ.【详解】（I）YXP2yxdxdyyxf2),(12210)2(ydxyxdy247.（II）方法一：先求Z的分布函数:zyxZdxdyyxfZYXPzF),()()(当z0时,0)(zFZ;考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站！当10z时,1),()(DZdxdyyxfzFyzzdxyxdy00)2(3231zz；当21z时,2),(1)(DZdxdyyxfzF111)2(1yzzdxyxdy3)2(311z；当2z时,1)(zFZ.故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(zfZ=)(zFZ.,0,21,)2(,10,222其他zzzzz方法二：dxxzxfzfZ),()(，.,0,10,10),(2),(其他xzxxzxxzxf.,0,1,10,2其他xzxxz当z≤0或z≥2时,0)(zfZ;当01z时,zZdxzzf0)2()()2(zz；当21z时,11)2()(zZdxzzf2)2(z；故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(zfZ.,0,21,)2(,10,222其他zzzzz【例8】设随机变量X与Y相互独立,X有密度函数f（x）,Y的分布律为()iiPYap,　i=1,2.试求Z＝X＋Y的概率分布.声明：本资料由考试吧（Exam8.com）收集整理，转载请注明出自服务：面向校园，提供计算机等级考试，计算机软件水平考试,英语四六级，研究生考试等校园相关考试信息。特色：提供历年试题，模拟试题，模拟盘，教程，专业课试题下载等。资料丰富，更新快！考试交流论坛：考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站！考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站！服务：面向较高学历人群，提供计算机类，外语类，学历类，资格类，四大类考试的全套考试信息服务.特色：极力推崇人性化服务！让您最便捷的在最短时间内得到对您最有价值考试信息！坚持每日更新!!!