第九章常微分方程及其应用

第九章常微分方程及其应用9.1一阶微分方程9.1.1可分离变量的微分方程形如()()dyfxydx的方程，称为分离变量方程，()fx，()y分别是x，y的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y，我们可将(1)改写成()()dyfxdxy，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyfxdxcy，c为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)yyxc就是常微分方程的解．例1：求解2dyxydx的通解。解：12dyxdxy→12dyxdxy→21lnyxc→通解：221xcxyece9.1.2齐次型微分方程（变量代换的思想）一阶微分方程可以化成dyyfdxx的形式。求解：dyyfdxxyuxyux，dyduxudxdxduxufudx11dudxfuux（可分离变量）通解例2：解方程22dydyyxxydxdx22dydyyxxydxdx2ydyydyxdxxdx2duduuxuuxudxdx1duxuudx111dudxux111dudxux1lnlnuuxc122ln,lnyuxyuxucuxceyuxyceycx9.1.3一阶线性微分方程若0dypxydx，称为一阶齐次线性微分方程。若dypxyqxdx（0qx），称为一阶非齐次线性微分方程。一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。解0dypxydx的通解如下：可分离变量的一阶微分方程110lndypxydypxdxypxdxcdxy2pxdxycepxdxyce（齐次方程通解）采用积分因子法求dypxyqxdx的一个特解如下pxdxpxdxpxdxpxdxdydypxyqxepxyqxeeyqxedxdxpxdxpxdxeyqxedxcpxdxpxdxyeqxedxcdypxyqxdx（0qx）的通解为：pxdxpxdxpxdxyceeqxedx9.1.4伯努利方程形如：ndypxyqxydx当0n时，dypxyqxdx一阶线性微分方程（公式法）当1n时，dypxyqxydxdyqxpxydx可分离变量微分方程求通解过程：1nnndydypxyqxyypxyqxdxdx1111nnynpxynqx作变量代换1nzy111ndznpxynqxdx（积分因子公式法）9.3高阶微分方程的降阶法二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程，求高阶微分方程通解的方法成为降阶法9.3.1y(n)=f(x)型：解法：次。连续积分n)()()1()(xfyynn1)1()(Cdxxfyn21)2())((CdxCdxxfynnCdxdxCdxCdxxfy))))((((219.3.2y=f(x,y')型解法：。，降阶为：因变量换元),(pxfpyp),;(1Cxp若得解),;(1Cxy则2121);(),;(CdxCxCCxy则9.3.3y=f(y,y')型解法：：做因变量及自变量换元,dxdyp新因变量,y新自变量)(dxdydxdy则dxdydydp,dydpp原方程降阶为),(pyfdydpp若得其解为),;(1Cyp则),;(1Cydxdy原方程通解为.);(21CxCydy9.4二阶线性微分方程解的结构形如：22dydypxqxyfxdxdx若0fx时，220dydypxqxydxdx（方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。若0fx时，22dydypxqxyfxdxdx（方程二）称为：二阶非齐次微分方程9.4.1二阶线性齐次微分方程解的结构定理1:如果函数)(1xy与)(2xy是方程(5.2)的两个解,则)()(2211xyCxyCy也是（方程一)的解，其中21,CC是任意常数.定理2:如果)(1xy与)(2xy是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则)()(2211xyCxyCy就是（方程一）的通解，其中21,CC是任意常数例3：0yy解：22121220010,cossindyyyyjycxcxdx可验证：1cosyx和2sinyx是0yy的两个解21sintancosyxxyx，线性无关9.4.2二阶线性非齐次微分方程解的结构定理3设y是方程(5.1)的一个特解，而Y是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则yYy就是二阶非齐次线性微分方程（方程二）的通解.9.5二阶常系数线性微分方程9.5.1二阶常系数线性齐次微分方程的解法当,pxqx均为常数，即0ypyqy或220dydypqydxdx其中p,q均为常数。求解：200ypyqypq三种情况：1）两个不等实根：12,1212xxycece2）两个相等实根：1212xyccxe3）一对共轭复根：1212,cossinxjjyecxcx9.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法xmexpxf)()(若方程（1）中xmexpxf)()(，其中)(xpm是x的m次多项式，则方程（1）的一特解*y具有如下形式xmkexQxy)(*其中)(xQm是系数待定的x的m次多项式，k由下列情形决定：（1）当是方程（1）对应的齐次方程的特征方程的单根时，取1k；（2）当是方程（1）对应的齐次方程的特征方程的重根时，取2k；（3）当不是方程（1）对应的齐次方程的特征根时，取0k．（2）xxpexfmxcos)()(或xxpexfmxsin)()(定理3若方程（1）中的xxpexfmxcos)()(或xxpexfmxsin)()(（)(xpm是x的m次多项式），则方程（1）的一个特解*y具有如下形式xmmkexxBxxAxysin)(cos)(*．其中)(xAm、)(xBm为系数待定的x的m次多项式，k由下列情形决定：（1）当i是对应齐次方程特征根时，取1k；（2）当i不是对应齐次方程特征根时，取0k．9.6二阶微分方程的应用举例例1求微分方程244exyyyx的通解．解所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且)(xf呈()exmPx型（其中2,)(xxPm）．与所给方程对应的齐次方程为440yyy，它的特征方程2440rr有一对重根122rr．于是与所给方程对应的齐次方程的通解为212()exYCCx．由于2是特征方程的重根，所以应设y为2201()exyxbxb．把它代入所给方程，得0162bxbx．比较等式两端同次幂的系数，得0161,20.bb解得011,06bb．因此求得一个特解为321e6xyx．从而所求的通解为232121()ee6xxyCCxx．