第九章相量法

《电工基础》91第九章相量法第一节复数的概念一、虚数单位参见图9-1给出的直角坐标系复数平面。在这个复数平面上定义虚数单位为1j即j2=1，j3=j，j4=1虚数单位j又叫做90旋转因子。序号内容学时1第一节复数的概念12第二节复数的四则运算13第三节正弦量的复数表示法14第四节复数形式的欧姆定律25第五节复阻抗的连接26本章小结与习题17本章总学时8图9-1在复平面上表示复数1．了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。2．掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的欧姆定律。3．掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。1．掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。2．掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。《电工基础》92二、复数的表达式一个复数Z有以下四种表达式。1．直角坐标式(代数式)Z=a+jb式中，a叫做复数Z的实部，b叫做复数Z的虚部。在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数A=3+j2在复平面上的表示如图9-1所示。2．三角函数式在图9-1中，复数Z与x轴的夹角为，因此可以写成Z=a+jb=|Z|(cosjsin)式中|Z|叫做复数Z的模，又称为Z的绝对值，也可用r表示，即22|Z|bar叫作复数Z的辐角，从图9-1中可以看出)00(arctan)00(arctan)0(arctanbaabbaabaab，，复数Z的实部a、虚部b与模|Z|构成一个直角三角形。3．指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即Z=|Z|(cosjsin)=|Z|ej4．极坐标式(相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即Z=|Z|/以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。解：利用关系式Z=a+jb=|Z|/，|Z|=22ba，=arctanab，计算如下：(1)Z1=2=2/0(2)Z2=j5=5/90(j代表90旋转因子，即将“5”作反时针旋转90)(3)Z3=j9=9/90(－j代表－90旋转因子，即将“9”作顺时针旋转90)【例9-1】将下列复数改写成极坐标式：(1)Z1=2；(2)Z2=j5；(3)Z3=j9；(4)Z4=10；(5)Z5=3j4；(6)Z6=8j6；(7)Z7=6j8；(8)Z8=8j6。《电工基础》93(4)Z4=10=10/180或10/180(“”号代表180)(5)Z5=3+j4=5/53.1(6)Z6=8j6=10/36.9(7)Z7=6+j8=(6j8)=(10/53.1)=10/18053.1=10/126.9(8)Z8=8j6=(8+j6)=(10/36.9)=10/180+36.9=10/143.1。解：利用关系式Z=|Z|/=|Z|(cos+jsin)=a+jb计算：(1)Z1=20/53.1=20(cos53.1+jsin53.1)=20(0.6+j0.8)=12+j16(2)Z2=10/36.9=10(cos36.9jsin36.9)=10(0.8j0.6)=8j6(3)Z3=50/120=50(cos120+jsin120)=50(0.5+j0.866)=25+j43.3(4)Z4=8/120=8(cos120jsin120)=8(0.5j0.866)=4j6.928第二节复数的四则运算设Z1=a+jb=|Z1|/，Z2=c+jd=|Z2|/，复数的运算规则为1．加减法Z1Z2=(ac)+j(bd)2．乘法Z1·Z2=|Z1|·|Z2|/+3．除法2121ZZZZ/4．乘方nnZZ11/n解：(1)Z1+Z2=(8j6)+(3+j4)=11j2=11.18/10.3(2)Z1Z2=(8j6)(3j4)=5j10=11.18/63.4(3)Z1·Z2=(10/36.9)(5/53.1)=50/16.2(4)Z1/Z2=(10/36.9)(5/53.1)=2/90第三节正弦量的复数表示法正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。【例9-2】将下列复数改写成代数式(直角坐标式)：(1)Z1=20/53.1；(2)Z2=10/36.9；(3)Z3=50/120；(4)Z4=8/120。【例9-3】已知Z1=8j6，Z2=3j4。试求：(1)Z1Z2；(2)Z1Z2；(3)Z1·Z2；(4)Z1/Z2。《电工基础》94正弦电流i=Imsin(ti)的相量表达式为iIIjme2I/i正弦电压u=Umsin(tu)的相量表达式为iUUjme2=U/u解：(1)正弦电压u的有效值为U=0.7071311=220V，初相u=30，所以它的相量为UU/u=220/30V(2)正弦电流i的有效值为I=0.70714.24=3A，初相i=45，所以它的相量为I=I/i=3/45A解:u=2120sin(t37)V，i=52sin(t+60)A。解:首先用复数相量表示正弦量i1、i2，即1I3/30A=3(cos30+jsin30)=2.598j1.5A2I4/60A=4(cos60jsin60)=2j3.464A然后作复数加法：21II4.598j1.964=5/23.1A最后将结果还原成正弦量：i1i2=25sin(t23.1)A第四节复数形式的欧姆定律一、复数形式的欧姆定律定义复阻抗为【例9-4】把正弦量u=311sin(314t30)V，i=4.24sin(314t45)A用相量表示。【例9-5】把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达式表示，设角频率均为：(1)U120/37V；(2)I5/60A。【例9-6】已知i1=23sin(t30)A，i2=24sin(t60)A。试求：i1i2。《电工基础》95IUZ|Z|/其中IUZ为阻抗大小，=ui为阻抗角，即电压u与电流i的相位差。则复数形式的欧姆定律为IZUZUI或图9-2所示为复数形式的欧姆定律的示意图。二、电阻、电感和电容的复阻抗1．电阻R的复阻抗ZR=R=R/0RRIRU2．电感L的复阻抗ZL=XL/90=jXL=jLLLLLLLILIXIZUjj3．电容C的复阻抗ZC=XC/90=jXC=C1jCCCCCCICIXIZU1jj第五节复阻抗的连接一、阻抗的串联如图9-3所示阻抗串联电路。n个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗Z=Z1Z2…Zn例如R-L-C串联电路可以等效一只阻抗Z，根据ZR=R，ZL=jXL，ZC=jXC，则jej)1(j)(jZXRCLRXXRZZZZCLCLR即Z=|Z|/其中电抗X=XLXC，阻抗大小为2222)(CLXXRXRZ为阻抗角，代表路端电压u与电流i的相位差，即RXiuarctan图9-3阻抗串联电路图9-2复数形式的欧姆定律《电工基础》96解:等效复阻抗Z=ZR+ZL=R+jXL=R+jL=3+j4=5/53.1，其中XL=4，正弦交流电压u的相量为U220/30V，电路中电流相量为5220ZUI/30－53.1=44/23.1A电阻上的电压相量和瞬时值分别为IRUR132/23.1V，2132Rusin(314t23.1)V电感上的电压相量和瞬时值分别为IXIZULLLj176/9023.1=176/66.9V，2176Lusin(314t+66.9)V二、阻抗的并联阻抗并联电路如图9-4所示。n只阻抗Z1、Z2、…、Zn并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即nZZZZ111121即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即ZY1导纳Y的单位为西门子(S)。于是有Y=Y1+Y2+…+Yn即几只并联导纳的等效导纳Y等于所有导纳之和。欧姆定律的相量形式为UYIIZU或图9-4阻抗并联电路【例9-7】在R-L串联电路中，已知：R=3，L=12.7mH，设外加工频电压2220usin(314t30)V。试求：电阻和电感上的电压瞬时值uR、uL。《电工基础》97解:由Z1=(10+j20)可得4.631020arctan36.2220101221，Z由Z2=(10j10)可得451010arctan14.1410102222，Z即Z1=10+j20=22.36/63.4，Z2=10j10=14.14/45由21111ZZZ可得并联后的等效复阻抗为2.814.146.2636.224.1817.316)10j10()20j10()4514.14()4.6336.22(2121ZZZZZ于是总电流的相量A2.86.152.814.140220ZUI即I=15.6A。总电流瞬时值表达式为A)2.8sin(26.15ti本章小结本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。一、复数及其运算法则1．复数的表达式(1)直角坐标式(代数式)：Z=a+jb(2)三角函数式：)0(arctan)sinj(cos22aabbaZZZ，，(3)指数式：Z=|Z|ej(4)极坐标式(相量式)：Z=|Z|/2．复数的运算法则设Z1=a+jb=|Z1|/，Z2=c+jd=|Z1|/(1)加减法：Z1Z2=(ac)j(bd)(2)乘法：Z1·Z2=|Z1|/·|Z2|/=|Z1|·|Z2|/(3)除法：2121ZZZZ/(4)乘方：nnZZ11/n【例9-8】两个复阻抗分别是Z1=(10j20)，Z2=(10j10)，并联后接在V)sin(2220tu的交流电源上，试求：电路中的总电流I和它的瞬时值表达式i。《电工基础》98二、正弦量的复数表示法正弦交流电流i=Imsin(ti)的相量表达式为II/i正弦交流电压u=Umsin(tu)的相量表达式为UU/u三、欧姆定律与复阻抗1．复数形式的欧姆定律IZUZUI或2.电阻R的复阻抗ZR=R=R/03.电感L的复阻抗ZL=XL/90=jXL=jL4.电容C的复阻抗ZC=XC/90=jXC=CCj11j5.阻抗的串联n个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗Z=Z1+Z2+…+Zn6.阻抗的并联n只阻抗Z1、Z2、…、Zn并联可以等效为一只复阻抗ZnZZZZ111121定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳，用符号Y表示，即ZY1，于是Y=Y1+Y2+…+Yn