第九章级数

142第九章级数无穷级数包括常数项级数与函数项级数两部分，可以利用它求出某些函数、积分和微分方程的近似值，还可以利用它来表示很多重要的非初等函数。基本内容：基本概念：常数项级数、正项级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数；基本运算：判断级数的敛散性；求幂级数的收敛半径与收敛区间；求泰勒级数与幂级数展开式；基本理论：极限的理论；本章重点：无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的比值判别法；级数的绝对收敛和收敛的关系；幂级数的收敛半径与收敛区间；泰勒级数；函数的幂级数展开式；傅立叶级数。课标导航1．理解常数项级数收敛、发散及级数求和；2．掌握收敛级数的基本条件，了解正项级数收敛的充分必要条件；3．掌握p级数、几何级数、条件级数收敛与发散的条件；4．熟练掌握正项级数的比较、比值和根式敛散法；了解交错级数的敛散法以及绝对收敛和条件敛散的概念；5．了解函数项级数及其收敛域、掌握幂级数的收敛半径和收敛域的求法，并会求较简单的幂级数的和函数；6．了解函数在某点处的泰勒级数以及函数展开成幂级数的概念，会用间接法将函数展开成幂级数；一、知识梳理与链接（一）.基本概念1．数项级数【定义】如果给定一个数列,,,,21nuuu则由这些数列构成的表达式121nnnuuuu叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数。其中：级数的第n项nu叫做级数的通项或一般项，级数的前n项和叫做级数的部分和，记为ns.即nnuuus21；如果级数部分和数列ns极限存在，则称该级数收敛，其极限值叫做级数的和，记为s，否则称该级数发散；级数和与部分和的差称为该级数的余项，记为nr.2．正项级数、交错级数级数中的各项均由正数或零组成，则称该级数为正项级数；级数中的各项是由正负交错组成，则称该级数为交错级数。3．绝对收敛与条件收敛如果级数1nnu各项的绝对值所构成的正项级数1nnu收敛，则称级数1nnu绝对收敛；如果级数1nnu收敛，而级数1nnu发散，则称级数1nnu条件收敛。4．函数项级数、幂级数如果定义在区间I上的函数列),(,),(),(21xuxuxun则由这些函数列构成的表达式1)(nnxu，称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。其中：能使函数项级数收敛的x的全体，称为函数项级数的收敛域；若1)()(lim)(nnnnxuxsxs，则)(xs称为函数项级数的和；)()()(xsxsxrnn称为函数项级数的余项。143形如nnnnnxaxaxaaxa22100（其中,,,,,210naaaa为常数）的级数称为幂级数5．泰勒级数、傅立叶级数如果函数)(xf在点0x的某一邻域内具有各阶导数，则幂级数nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(!2)())(()(00)(200000称为函数)(xf的泰勒级数。幂级数nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(2称为函数)(xf的马克劳林级数。级数10)sincos(2nnnnxbnxaa叫做函数)(xf的傅立叶级数其中：nxdxxfancos)(1，nxdxxfbnsin)(1（二）定理、性质、公式、法则1．收敛级数的基本性质性质1如果级数1nnu收敛于和s，则级数1nnku也收敛于和ks.即级数的每一项同乘以一个不为零的常数后，它的收敛性不变性质2如果级数1nnu、1nnv收敛于和s、，则级数1)(nnnvu也收敛，其和s.即两个收敛级数可以逐项相加或相减，其敛散性不变，但级数和发生改变。性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。性质4如果级数1nnu收敛，则对该级数的项任意加括号或去括号后所形成的级数仍收敛，其和不变。【注】加括号后所形成的级数发散，则原级数也发散。性质5如果级数1nnu收敛，则它的一般项极限为零。2．正项级数的收敛法则定理正项级数1nnu收敛的充分必要条件是它的部分和数列ns有界。比较判别法设1nnu和1nnv都是正项级数，且nnvu若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；若级数1nnu发散，则级数1nnv发散。比较判别法的极限形式设1nnu和1nnv都是正项级数（1）如果)0(limllvunnn，且级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；（2）如果0limlvunnn或nnnvulim，且级数1nnv发散，则级数1nnu也发散。比值（达郎贝尔）判别法设1nnu是正项级数，如果nnnuu1lim，则当1时级数收敛；当1时级数发散；1级数可能收敛也可能发散。根式（柯西）判别法设1nnu是正项级数，如果nnnulim，则当1时级数收敛；当1时级数144发散；1级数可能收敛也可能发散。3．交错级数的收敛法则莱布尼兹判别法如果交错级数1)1(nnnu满足条件：（1）0.1nnuu（2）0limnnu则级数收敛，且其和1us4．绝对收敛判别法定理如果级数1nnu绝对收敛，则级数1nnu收敛；反之不真。定理绝对收敛级数改变项位置后所构成的级数也收敛，且与原级数有相同的级数和（即绝对收敛级数具有可交换性）。5．函数项级数判别法阿贝尔（Abel）判别法如果级数0nnnxa当0xx（00x）时收敛，则适合不等式0xx的一切x幂级数绝对收敛；反之，如果级数0nnnxa当0xx时发散，则适合不等式0xx的一切x幂级数发散。推论如果幂级数0nnnxa不是仅在0x一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得当Rx时，幂级数绝对收敛；当Rx时，幂级数发散；当Rx时，幂级数可能收敛也可能发散。定理如果nnnaa1lim其中na、1na是幂级数0nnnxa的相邻两项系数，则幂级数收敛半径为,00,0,1R6．幂级数的性质性质1幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛域I上连续。性质2幂级数0nnnxa的和函数)(xs在I上可积，并有逐项积分公式01000001][)(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs【注】逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。性质3幂级数0nnnxa的和函数)(xs在其收敛区间),(RR内可导，并有逐项求导公式0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs【注】逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。二、友情提醒与内容强化解读1．无穷级数无穷级数涉及到无穷多项求和的定义问题，即级数的收敛问题，还涉及到运算时可否加括号，提取公因子以及把级数从等号的一端移到另一端等问题，这些都是无穷级数理论中的基本问题，在学习时必须给予足够的重视。只有收敛的无穷级数求和时可以添加括号，提取公因子以及把级数从等号的一端移到另一端，对于发散级数是不能够进行的。2．常数项级数145两个发散的级数逐项相加所得的级数不一定发散，如：级数1+2+3+…和级数-1-2-3-…都是发散的，但是它们逐项相加所得的级数却是收敛的；若一个收敛，另一个发散，则逐项相加所得的级数必发散；如果两个级数逐项相加所得的级数收敛，其中一个收敛，则另一个必收敛。3．数项级数级数的部分和数列极限存在与级数的收敛性是一回事，但研究级数并非是多余的，因为ns一般不易求出，且用级数处理某些问题会更方便，所以技术理论决不是极限理论的简单重复，而是有其崭新的内容。0limnnu是级数1nnu收敛的必要条件，但非充分条件。如果级数1nnu收敛，则0limnnu；但0limnnu，则级数1nnu一定发散；如果0limnnu，级数1nnu仍可能发散。也就是说，级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，有些级数的一般项虽然趋于零，但仍然是发散的，它是级数收敛的必要条件，即一般项不趋于零，则级数必发散。收敛性和发散性是无穷级数求和的内在性质。把有限个项加到一个无穷级数上，或者从无穷级数上去掉有限项，不会改变级数的敛散性。4．正项级数的收敛法则在一般高等数学教材里，正项级数的收敛判别法只限于介绍比较判别法和比值判别法。因此判别一正项级数是否收敛通常按下列步骤来考虑：先观察级数收敛的必要条件0limnnu是否满足，如果这个条件不满足，则级数发散，因而问题得到解决；如果这个条件满足，则先试用比值判别法，因为用比值判别法比用比较判别法来得方便。如果比值判别法失效，则用比较判别法。在运用比较判别法时，经常用来比较的是几何级数、调和级数和P—级数。几何级数：02nnnaqaqaqaqa当1q时，级数收敛，其级数和为qa1；当1q时，级数发散。调和级数：11131211nnn是发散的。P—级数：11131211nppppnn当1p时，级数收敛；当1p时，级数发散。判别一个正项级数的收敛性，一般而言，按下列程序进行考虑（1）检查一般项，若0limnnu可判定级数发散；（2）用比值（根式）判别法判定，若1lim1nnnuu或极限不存在可判定级数发散；（3）用比较判别法或极限形式的比较判别法判定之；（4）检查正项级数的部分和是否有界或判别部分和是否有极限；5．绝对收敛与条件收敛将收敛级数区分为绝对收敛级数和条件收敛级数两类，对于级数的研究是很有必要的，因为这两类收敛级数具有不同的性质。例如，绝对收敛级数具有可交换性（即绝对收敛级数不因改变它的位置而改变它的和），条件收敛级数就没有这种性质。条件收敛级数的各项位置改变后可使其和等于任何数（黎曼定理）。6．莱布尼兹判别法中要求nu单调递减的条件不是多余的。例如，级数nn51151215112发散，虽然它的一般项0511nnnu，但是nu的单调递减性每一项由n51变到11n时都被破坏了。另一方146面，nu单调递减的条件也不是必要的。例如，级数23232)2(1)12(14131211nn收敛，且为绝对收敛，但其一般项nu趋于零时并不具有单调递减性。由上说明了莱布尼兹判别法的判别交错级数的充分条件，非必要。7．幂级数幂级数及其逐项求导与逐项求积分后级数具有相同的收敛半径，但未必有相同的收敛域，设幂级数0nnnxa逐项求导后级数11nnnxna与逐项积分后级数111nnnxna的收敛域分别是1I、2I和3I，则它们有如下的关系：312III由于逐项求导或逐项积分后幂级数的收敛半径不变，所以这些级数的收敛性只能在收敛区间的端点处发生改变，比如0nnx的收敛域为)1,1(，逐项积分后幂级数011nnnx的收敛域为)1,1[.一般而言，若幂级数在收敛区间的端点处发散，则逐项求导后的级数在该点处必定发散，而逐项积分后的级数在该点处可能收敛；若幂级数在收敛区间的端点处收敛，则逐项求导后的级数在该点处可能发散，而逐项积分后的级数在该点处必定收敛。8．函数展开成幂级数（1）函数)(xf的泰勒级数与)(xf的泰勒展开式不是同一个概念若函数)(xf在点0x的某邻域内有任意阶导数)()(xfn，则nnnxxnxf)(!)(00)(就是函数)(xf的泰勒级数。此级数是否在点0x的某邻域内收敛，若收敛，其和函数是否是)(xf，还需要用收敛定理检查。只有当级数nnnxxnxf)(!)