第九篇解析几何第3讲圆的方程

第3讲圆的方程1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题．【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程．2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．2．圆的标准方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.3．圆的一般方程方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4.故有：(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以－D2，－E2为圆心，以D2＋E2－4F2为半径的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点－D2，－E2；(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．4．P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系(1)若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，则点P在圆外；(2)若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点P在圆上；(3)若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，则点P在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为()．A．(x－1)2＋y2＝4B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4D．(x－1)2＋y2＝2答案C2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()．A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()．A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.答案A4．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()．A．52B．102C．152D．202解析由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于12|AC|×|BD|＝12×210×25＝102，选B.答案B5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．解析设圆的方程为x2＋y2＝r2.则r＝|－2|2＝2.∴圆的方程为：x2＋y2＝2.答案x2＋y2＝2考向一求圆的方程【例1】►已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()．A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2[审题视点]设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析法一设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可．设圆心坐标为(a，－a)，则|a－－a|2＝|a－－a－4|2，即|a|＝|a－2|，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝22＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d＝42＝22；圆心是直线x＋y＝0与这两条平行线交点的中点，直线x＋y＝0与直线x－y＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x－y－4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法三作为选择题也可以验证解答，圆心在x＋y＝0上，排除选项C、D，再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可．答案B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．解析∵圆经过点A(5,2)，B(3,2)，∴圆心在x＝4上，又圆心在2x－y－3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2，又圆过B(3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r2，∴r2＝10，∴圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.答案(x－4)2＋(y－5)2＝10考向二与圆有关的最值问题【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则y－1x－2的最大值与最小值分别为________．[审题视点]找出y－1x－2的几何意义，运用几何法求解．解析设y－1x－2＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．由|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33.答案33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()．A．30B．18C．62D．52解析由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32.则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为62.答案C考向三圆的综合应用【例3】►已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点](1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m的方程求解；(2)OP⊥OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解．解法一将x＝3－2y，代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：y1＋y2＝4，y1y2＝12＋m5.∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.∵x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝－27＋4m5.故－27＋4m5＋12＋m5＝0，解得m＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为－12，3，半径r＝52.法二如图所示，设弦PQ中点为M，设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2，∴x0＝x1＋x22＝－1，y0＝y1＋y22＝2.解得M的坐标为(－1,2)．则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，|MQ|2＝r2.在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.∴1＋－62－4m4＝－12＋12＋(3－2)2＋5.∴m＝3，∴半径为52，圆心为－12，3.(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m值，即两种解法围绕“列出m的方程”求m值．【训练3】(2012·广州模拟)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求AB→的坐标；(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．解(1)设AB→＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，AB→·OA→＝0，得x2＋y2＝100，4x－3y＝0，解得x＝6，y＝8或x＝－6，y＝－8，若AB→＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB＞0矛盾，所以x＝－6，y＝－8舍去．即AB→＝(6,8)．(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝(10)2，其圆心为C(3，－1)，半径r＝10，∵OB→＝OA→＋AB→＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，∴直线OB的方程为y＝12x.设圆心C(3，－1)关于直线y＝12x的对称点的坐标为(a，b)，则b＋1a－3＝－2，b－12＝12·a＋32，解得a＝1，b＝3，则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．错因计算失误．实录(1)令y＝0，则与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x＝0，则与y轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则E＋F＋1＝0，3＋22D＋F＋3＋222＝0，3－22D＋F＋3－222＝0，解得：D＝6，E＝27＋122，F＝－28－122，∴x2＋y2＋6x＋(27＋122)y－28－122＝0.正解(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为32＋t－12＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：x－y＋a＝0，x－32＋y－12＝9.消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.因此x1,2＝8－2a±56－16a－4a24，从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①