第九讲初中数学中的数学思想方法的学习与应用

第九讲初中数学中的数学思想方法的学习与应用数学思想方法是数学知识、数学技能和数学方法的本质体现，可以说它是数学的灵魂．因此，我们在学习知识、运用知识解决问题的过程中，要特别注重数学思想方法的学习和应用．解决某些数学问题的时候，需要通过已知量求出未知量的值，这时，解决问题的指导思想是想方设法抓住问题中的相等关系，去建立数学中的方程或方程组的模型，通过方程或方程组来解决问题，这是方程思想．方程思想是十分重要的数学思想，它在解题，特别是解综合题中有广泛应用．运用方程思想解题时，根据条件构造有关方程是解题的关键．构造方程时，一般地说，设出几个未知数就要建立几个独立的方程．例1在一个矩形花坛ABCD中，AB=12m，BC=9m，E是AD边上一点，AE=6m，AC、BE相交于F并把矩形花坛分四部分，这四部分分别种红、黄、蓝、白四种颜色的花，四种颜色花的位置如图所示，求红、黄、蓝、白四部分的面积是多少?解:∵四边形ABCD是矩彤，∴DA∥CB，∴∠1=∠2，∠3=4，∴△AFE∽△CFB．过F作BC的垂线交BC于H，交AD于G．∴GF⊥AD，四边形GABH是矩形，GH=AB=12m．∵AE=6m，BC=9m，∴设GF=2k，FH=3k，又GF+FH=AB∴2k+3k=12，k=(m)∴FG=2k=(m)，FH=3k=(m)．S蓝=S△FEA=×6×=(m2)；S红=S△FBC=×9×=(m2)；S△EAB=×6×12=36(m2)；∴S白=S△EAB-S△FEA=36-=(m2)；S黄=S矩形ABCD-S△EAB-S△FBC=12×9-36-=(m2)；答：红、黄、蓝、白四部分的面积分别为m2，，m2，m2．解后反思：我们利用相似得出，设B的一份为x，利用AB=GH=12构造了2k+3k=12，从而把k的值求出，使得这道题打开了局面．遇到面积问题时，我们可以这样想：处理面积：(1)面积公式．S△=底×高(2)当△1和△2底相等时，；当高相等时，(3)如果△1∽△2，那么(4)全部面积等于各部分面积之和，割补求积例2在△ABC中;a、b、C分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=5，若关于x的方程(5,+b)x2+2ax+(5-b)=0有两个相等的实数根，又方程2x2-10simAx+5sinA=0的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积．解：∵方程(5+b)x2+2ax+(5-b)=0有相等实数根，∴△=(2a)2-4(5+b)(5-b)=0，得a2+b2=75，∵c2=75，∴a2+b2=c2．故△ABC是直角三角形，且∠C=90°．设x1、x2是2x2-(10sinA)+5sinn=0的两实数根，则x1+x2=5sinA，x1·x2=sinA．∴(5sinA)2-5sinA-6=0解得sinA=-，或sinA=-(舍去)．在Rt△ABC中，c=5，a=c·sinA=3，b==4，∴S△ABC=ab=18．例3如图(详见光盘)，已知在同一坐标系中，直线y=kx+2-与y轴交于点P，抛物线y=x2-2(k+1)x+4k与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，C是抛物线的顶点．(1)求二次函数的最小值(用含k的代数式表示)：(2)若点A在点B的左侧，且x1·x20．①当是取何值时，直线通过点B②是否存在实数k，使S△ABP=S△ABC，如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由．(1)解:∵a=10,∴y最小值(2)①解：由y=x2-2(k+1)x+4k，得y=(x-2)(x-2k)．当y=0时，(x-2)(x-2k)=0，解得x=2或x=2k，∵点A在点B的左侧，∴x1x2又∵x1·x20,∴x10，x20,∴x1=2k,x2=2．点A的坐标为(2k，0)，既点B的坐标为(2，0)代入直线y=kx+2-,得2k+2-=0，解得k=-．∴当k=-时，直线过点B．②解：过点C作CD⊥AB于点D，则CD=|-(k-1)2|-(k-1)2．把x=0代入直线y=kx+2-，得y=2-∴OP=|2-|∵x1·x2=4k0，∴k0，2-0，∴OP=2-．若S△ABP=S△ABC即AB·OP=AB·CD．∵AB0，∴OP=CD(这是建构方程的基础)．即-+2=(k-1)2解得k1=-，k2=2．∵k0，∴取k=-,∴当K=-时，S△ABP=△ABC．此时所求抛物线的解析式为：y=x2-x-2．解后反思：这道题运用了数形结合，点A和B点分别在原点的左侧和右侧，确定k的值小于0．借助绝对值的概念，化简了绝对值，同时利用面积相等，得到OP=CD这样一个几何量相等的关系，建构了关于的k方程．例4已知：如图，△ABC是⊙0的内接等边三角形，D、E分别是AB、AE的中点，过DE的弦与⊙O相交于FG，求FG：BC的值．解：∵△ABC是圆内接等边三角形，∴AB=AC，．∵D，E分别是AB、AC的中点，∴FG∥BC，DE=BC．DB=CE=AB连接BF、CG，则∠FBA=∠GCA，∠F-∠G.∴△FBD≌△GCE(AAS)∴DF=EG.设△ABC的边为2x，DF=EG=y，则AD=DB=DE=x．由相交弦定理，得FD·DG=AD·DB，即y(x+y)=x·xy2+yx-x2=0解出：y=1±x(y=x不符题意，舍去)．∴FG=2y+x=x∴FG∶BC=x∶2x=∶2．即FG∶BC等于．解后反思：在这个求解的过程当中，未知数是由我们设等边三角形边长为2x，设DF、EG两段为y，借助相交弦定理构造出来的．在解题过程当中，题目没有给出任何已知的数量关系，是我们凭借着对图形的认识，挖掘到它的内涵来构造方程求解的．所以，这样的题目可以用方程来解决．例5如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是梯形内一点，ED⊥AD，∠EBC=∠EDC，∠ECB=45°．(1)求证：BE=CD;(2)若DE=3，tan∠DCB=4，求CD的长．解：(1)延长DE交BC于F．∵AD∥BC，∴∠DFC=∠EDA-90°．又∵∠BCF=45°，∠FCE=∠CEF=45°，∴EF=FC.在△EBF和△CDF中，∠EBF=∠CDF，∠BFE=∠DFC=90°，∴△EBF≌△CDF，∴BE=CD．这一步是通过构造等腰直角三角形EFC，创造EF等于FC的条件，证明三角形BEF和三角形DCF全等的过程．等腰直角三角形EFC起到了关键的作用．(2)设EF=x(x0)，则FC=x，DF=x+3．在Rt△DFC中，∠DFC=90°，tan∠DCF=4，∴x+3=4x,∴x=1．在Rt△DFC中，DF=4，FC=1，∴CD=解后反思：上述解题过程可以使我们得到以下一些启示：(1)已知直角三角形的两个元素(至少有一个是边)，直角三角形可解，解直角三角形是解几何计算型综合题的基本功;(2)锐角三角函数值，是直角三角形的两边的比，由此可依据这样的已知条件，采用设参数的方法，将两条直角边具体化；(3)解题时要善于发现题目中存在的等量关系，以便利用这些关系列出所设参数的方程或方程组，以达到最终求解的目的．(4)本题在求解的过程中，充分表现出数学中重要的解题思想——方程的思想．例6如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙0的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦．(1)求△CDF的面积：(2)求线段BE的长．解：(1)设AF=x，则DF=1-x，CF=1+x．在Rt△CDF中，由勾股定理，得(1-x)2+12=(14+x)2，解得x=AF=．∴DF=．∴S△CDF=×1××=.(2)连AE、OC，OC交BE于G，由切线长定理可知：CE=CB，∠ECG=∠BCG，∴△ECG≌△CBG，∴BG=GE=BE，且OC⊥BE∴在Rt△BEA和Rt△CGB中,∵∠CBG=∠BAE，AB=AC∴Rt△BEA≌Rt△CGB，∴BG=AE．∴BE=2AE在Rt△BEA中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2，∴BE2+BE2=1，∴BE2=,∴BE=.解后反思：同学们在想问题的时候，不要拘于形式，要抓住本质．第二问中，出现的BE2+BE2=1勾股定理所体现的关系式，仍然是关于量BE的一个方程．因此，我们在学习的时候，要反反复复的体会未知量和已知量的结合点在何处，不同的题目给出的等量关系是不相同的，它有赖于我们认真的审题，挖掘题目当中的关系，从而使问题得以解决．本题也可利用△AEB∽△OBC，并结合勾股定理求出OC=，进而求出BE的长．例7如图，已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=90°，AH⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交⊙O于点F，且AE=BE．(1)求证：AB=AF；(2)若BE·EF=32，AD=6，求BD的长．解：(1)∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∵∠BAE+∠DAC=90°．∠C+∠DAC=90°．∴∠BAE=∠C．又∵AE=BE，∴∠ABE=∠BAE，∴∠C=∠ABE．∴AB=AF；(2)∵∠BAC=90°，BC是⊙O的直径．∵AD⊥BC，∴DH=AD=6．∵AE·EH=BE·EF，BE·EF=32，∴AE·EH=32，设DE为x，∴(6-x)·(6+x)=32，即36-x2=32，解得x=±2(舍去负值)．∴BE=AE=AD=DE=6-2=4．在Rt△BED中，BD=解后反思：在这个题目当中，BE·EF=32是我们建造方程的一个关键点，由它结合相交线定理，进行转化得到AE·EH=BE·EF，使问题得以解决．