第九讲高维空间一瞥

1第九讲高维空间一瞥1．一个不可思议的结论如图1，在一个44正方形中嵌入四个内切圆，它们的半径都是1，正方形中心处有第五个较小的圆与前四个圆都相切，小圆半径为1211122。这个结论毫无问题。图1．相切的圆三维的等价情形是，在棱长为4的正方体中嵌入八个半径都是1的内切球，正方体中心处同样有一个较小的球与前八个球都相切，这次它的半径是111122213。这也是显见的。在这两种情形，中心那个较小的圆或球分别被包含在外围那个正方形或正方体之中。现在把目光从二维、三维转到n维。我们考虑在一个n维立方体中嵌有内切球的情形。设立方体边（或棱，下同）长为4，嵌在其中的内切球半径为1，利用勾股定理的推广，计算小内切球的半径，就有1111112222nrn个。当2n或3，就是前面的结果。当9n时，小内切球的半径为219r。注意到立方体中心到任何一个侧面的距离正好等于2，不可思议的事发生了——此时小内切球居然与立方体的侧面相切！更有甚者，当9n时，小内切球竟撑破了立方体！！从三维角度的显然性看，结论是符合逻辑的，但却违背直觉。我们难以理解高维空间，正如科幻小说“平面王国”中的人们难以理解三维空间。英国科普作家阿伯特在他的《平面王国》一书中有这样的描述：“……，一个点出现了，它变成一个小小的圆，这个圆不断变大，又渐渐缩小，成为一个点，最后完全消失。平面王国中的人们不理解，刚才穿越他们二维世界的是三维空间的一个球。”2本讲不可能解决前面提出的问题，那需要太多的数学工具。我们还是从最简单处入手，讨论关于四维空间立方体的一个基本问题。2．四维立方体有多少个顶点，多少条边，多少个三维意义下的面？——解法之一（1）简单的类比图2．零维、一维、二维、三维空间立方体的顶点数、边数和面数图形顶点数边数面数零维立方体·100一维立方体210二维立方体441三维立方体8126我们已把零维、一维、二维、三维空间立方体的顶点数、边数和面数列出来，如图2，希望根据这些数据“类比”出我们问题的答案。观察可见，零维、一维、二维、三维立方体顶点数依次是1，2，4，8，不难“类比”出四维立方体的顶点数16（尚不知道正确与否）。但零维、一维、二维、三维立方体的边数依次是0，1，4，12，面数依次是0，0，1，6，从中就很难简单地“类比”出四维立方体的边数和面数了。（2）实质的东西在哪里看来，类比不是简单的形式化的类比，必须透过形式寻找实质的东西，实质性的类比才有助于问题的解决。但实质的东西在哪里呢？让我们想一想：较低维的立方体是如何生成高一维的立方体的？在这个过程中立方体的顶点数、边数和面数又是如何变化的？不妨假定所讨论的立方体是单位立方体，这既不影响问题的答案，又便于我们叙述。零维立方体（一个点）朝某个方向平移一个单位，它的初始位置、运动轨迹和终极位置就生成一维的单位立方体。3这个点的初始位置和终极位置成为一维立方体的2个顶点；这个点的运动轨迹成为一维立方体的1条边。一维单位立方体（单位长的线段）朝与自身垂直的方向平移一个单位，它的初始位置、运动轨迹和终极位置就生成二维单位立方体。线段2个顶点的初始位置和终极位置成为二维立方体的4个顶点；线段2个顶点的运动轨迹成为二维立方体的2条边，线段自身的初始位置和终极位置成为二维立方体的另2条边，即二维立方体共有4条边；线段自身的运动轨迹成为二维立方体的1个面。二维单位立方体（单位正方形）朝与自身垂直的方向平移一个单位，它的初始位置、运动轨迹和终极位置就生成三维单位立方体。正方形4个顶点的初始位置和终极位置成为三维立方体的8个顶点；正方形4个顶点的运动轨迹成为三维立方体的4条边，正方形4条边的初始位置和终极位置成为三维立方体的另8条边，即三维立方体共有12条边；正方形4条边的运动轨迹成为三维立方体的4个面，正方形1个面的初始位置和终极位置成为三维立方体的另2个面，即三维立方体共有6个面。所有这些结果与我们观察所得完全一致。（3）实质性的类比三维单位立方体朝与自身垂直的方向（一个耐人寻味的方向）平移一个单位，它的初始位置、运动轨迹和终极位置就生成四维单位立方体。三维立方体8个顶点的初始位置和终极位置成为四维立方体的16个顶点；三维立方体8个顶点的运动轨迹成为四维立方体的8条边，三维立方体12条边的初始位置和终极位置成为四维立方体的另24条边，因此四维立方体共有32条边；三维立方体12条边的运动轨迹成为四维立方体的12个面，三维立方体6个面的初始位置和终极位置成为四维立方体的另12个面，因此四维立方体共有24个面。还可以补充一句，三维单位立方体6个面的运动轨迹以及三维单位立方体的初始位置和终极位置成为四维立方体8个四维意义下的面。至此，不仅四维立方体顶点数、边数、面数的问题有了结果，我们还能用同样方法考察五维、六维、……，直至任意有限维立方体的顶点数、边数和面数。但这个方法有一个特点，即必须首先求得1n维立方体的顶点数、边数和面数，才能求n维立方体的顶点数、边数和面数。也就是说，这个方法是递推方法，我们无法直接写出4n维立方体的顶点数、边数和面数的通项公式。3．四维立方体有多少个顶点，多少条边，多少个三维意义下的面？——解法之二（1）参考三维的情形用坐标方法求解。这一次仅仅与三维立方体类比，先就画得出的并且为我们所熟悉的三维情形进行坐标分析，再将这样的方法应用于画不出的、我们所生疏的四维的情形。图3．三维空间的单位立方体ZADBCODYBCX（1）不妨如图3所示建立空间直角坐标系，即以单位立方体DCBOABCD的顶点O为坐标原点，以立方体的边BO、DO、OA所在直线为X、Y、Z轴，这既不影响问题的解答，又便于我们讨论。先考虑三维立方体的顶点数：三维立方体的每个顶点有3个坐标，每个坐标有0或1两种选择。（例如，顶点O的3个坐标依次是0，0，0；顶点B的3个坐标依次是1，0，1；顶点C的3个坐标依次是1，1，0，等等。）注意不同的选择数就是三维立方体的顶点数。因此，根据乘法原理，三维立方体的顶点数应为823。又考虑三维立方体的边数：三维立方体每条边上的点有3个坐标，其中两个坐标固定，一个坐标流动；而每个固定的坐标又有0或1两种选择。（例如，边OA上的点X坐标固定为0，Y坐标固定为0，Z坐标在0与1之间流动；边BC上的点X坐标固定为1，Z坐标固定为1，Y坐标在0与1之间流动；边DC上的点Y坐标固定为1，Z坐标固定为0，X坐标在0与1之间流动，等等。）3个坐标中固定2个，有323C种选择；每个固定的坐标固定在哪里，又有0、1两种选择。现在所有不同的选择数即三维立方体的边数。因此三维立方体的边数应为12342232C。再考虑三维立方体的面数：三维立方体每个面上的点有3个坐标，其中一个坐标固定，两个坐标流动；固定的坐标有0或1两种选择。（例如，面ABCD上的点Z坐标固定为1，5X坐标与Y坐标在0、1之间流动；面OBAB上的点Y坐标固定为0，X坐标与Z坐标在0、1之间流动；面CCBB上的点X坐标固定为1，Y坐标与Z坐标在0、1之间流动等。）3个坐标中固定1个，有313C种选择；这个坐标固定在哪里，又有0、1两种选择。现在所有不同的选择数即三维立方体的面数。因此三维立方体的面数应为632213C。（2）讨论四维的情形有了以上分析，现在可以类比地讨论四维立方体的顶点数、边数和面数了。仍然像前面一样建立四维空间的直角坐标系，即以四维立方体的一个顶点为坐标原点，以四维立方体从这个顶点出发的四条边为四根坐标轴。之前已经反复申明，这样做既不影响问题的解答，又便于我们讨论先考虑四维立方体的顶点数：四维立方体的每个顶点有4个坐标，每个坐标有0或1两种选择。而不同的选择数就是四维立方体的顶点数。根据乘法原理，四维立方体的顶点数应为1624。又考虑四维立方体的边数：四维立方体每条边上的点有4个坐标，其中……出现问题了——在三维的情形，立方体边上的点的3个坐标中，有两个固定一个流动，到底“两个固定”是本质的，还是“一个流动”是本质的？若是前者，则四维立方体边上的点的四个坐标中，应有两个固定两个流动；若是后者，则四维立方体边上的点的四个坐标中就有三个固定一个流动。事实上，“边”是一条线段，只有一个自由度。因此可以断定“一个流动”是本质的。于是可以继续我们中断了的工作：四维立方体每条边上的点有4个坐标，其中3个坐标固定，1个坐标流动；而每个固定的坐标又有0或1两种选择。4个坐标中固定3个，有434C种选择；每个固定的坐标固定在哪里，又有0、1两种选择。所有不同的选择数即四维立方体的边数。因此四维立方体的边数应为32482343C。再考虑四维立方体的面数：四维立方体每个面上的点有4个坐标，其中两个坐标固定，两个坐标流动（因为我们考虑的是三维意义下的面，它有两个自由度，所以可以这样断言）；每个固定的坐标有0或1两种选择。4个坐标中固定2个，有624C种选择；而每个坐标固定在哪里，又有0、1两种选择。不同的选择数即四维立方体的面数。因此，四维立方体6的面数应为24642242C。（3）推广至任意n维立方体坐标方法的一个优点是，不必借助于1n维立方体的情形，可以直接求得n维立方体的顶点数、边数和面数的通项公式。让我们来做这个工作。n维立方体的顶点数：n维立方体每个顶点有n个坐标，每个坐标有0或1两种选择。不同的选择数就是n维立方体的顶点数。因此，n维立方体的顶点数应为n2。n维立方体的边数：n维立方体边上的点有n个坐标，其中1n个坐标固定，一个坐标流动；每个固定的坐标又有0或1两种选择。n个坐标中固定1n个，有nCCnnn11种选择；每个固定的坐标固定在哪里，又有0、1两种选择。不同的选择数即n维立方体的边数。因此n维立方体的边数应为nn12。n维立方体的面数：n维立方体面上的点有n个坐标，其中2n个坐标固定，两个坐标流动；每个固定的坐标有0或1两种选择。n个坐标中固定2n个，有22nnnCC21nn种选择；每个坐标固定在哪里，又有0、1两种选择。所有不同的选择数即n维立方体的面数。因此，n维立方体的面数应为1221232nnnnnn。以上结论对任意非负整数n成立。这真是一个很好的结果！我们的问题还有其它解法，在此不一一赘述。