第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题(一)

第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题(一)数学从逻辑上讲，是训练思维的工具．通过学习数学可以使人更加聪明，办事更有条理，思维更加灵活而富于创造性．另一方面，如果从应用上讲，数学也是一种应用技术，应用数学知识、原理和方法可以解决各种实际问题．那么怎样把一个实际问题化成数学问题来解决呢？这是一个比较复杂的过程，大体上可以通过以下步骤进行：(1)了解实际问题中量的关系和图形元素的关联；(2)根据量或图形间的关系，寻找相应的数学模式；(3)考虑数学模式中的条件与结论的蕴涵关系，提出数学问题；(4)应用数学知识、原理，求出数学问题的解答；(5)由数学问题的解答，对实际问题作出解释与讨论；(6)推广数学模式所能解决的更广泛的实际问题．但是由于实际问题千变万化，特别复杂，所以当把实际问题化成数学问题求解时，也有不同的思考方法．下面提出几点较为常见的方法，供读者参考．1．抽象分析法例1“七桥问题”．在18世纪东普鲁士的首府哥尼斯堡有一条河，叫作布勒格尔河，横贯城区，在这条河上共架有七座桥(图2-146)．所谓“七桥问题”就是：一个人要一次走过这七座桥，但对每一座桥只许通过一次，问如何走才能成功？这个问题，引起当时德国人的好奇，很多人都热衷于解决它，但谁也没有成功．欧拉(Euler)是一位大数学家，由于千百人的失败，使他猜想：这种走法可能根本不存在．但是怎样证明这种走法不可能呢？欧拉运用抽象分析法，将之化成数学问题，于1736年证明了他的猜想，使“七桥问题”得到圆满的解决．那么欧拉是怎样抽象成数学问题进行思考的呢？使问题简单化．作为解决实际问题的第一步，要尽可能使问题简单化．为此要抓住问题的要点，做初步的抽象处理．显然岛的大小和桥的长短与问题无关，因此可以不加考虑．如果把岛及陆地用点表示，桥用线表示，那么这个问题就成了一笔画问题(图2-147)．在图2-147中，由A到B有桥1；由B到D有桥2，桥3；由D到C有桥4，桥5；由C到A有桥7；由A到D有桥6，共七座桥．这样，就把实际问题数学化了，使问题的解决推进了一步．一般说来，在数学思考中，常把原问题不改变本质地加以变形，使其简单化，以利于找到解答．例如，列方程解应用问题就是这种思想的一种体现．先把实际问题化成含有已知量和未知量的方程，然后再把方程作同解变形，化为最简方程，较容易地求出方程的解，实际问题也就解决了．寻找解决问题的方法．问题简化了，也不一定能得到解决，关键是如何抓住本质加以分析，从中发现规律性．为此，我们还是从更特殊的情况进行观察分析．(1)假如只有三座桥(图2-148)．对于图2-148(a)来说，无论从哪个端点起一笔画出总是可能的．但对图2-148(b)来说，无论从哪个端点起，一笔画完总是不可能的．(2)假如有四座桥(图2-149)．对于图2-149(a)，(b)来说，显然可以一笔画成．但对图2-149(c)来说，却不能一笔画成．研究了这些简单例子，对我们有什么启发呢？为此，数学家提出了网络这一概念，以便利用新概念的特性，解决已经提出的问题．定义网络是由有限个点(称作网络的顶点)和有限条线(称作网络的弧)所组成的图形．这些点和线满足以下条件：(i)每条弧都以不同的两个顶点作为端点；(ii)每个顶点至少是一条弧的端点；(iii)各弧彼此不相交．这样，所谓一笔画问题，就是网络中的同一条弧不许画两次，而把网络全部勾画出来的问题．(3)研究网络能一笔画出的特点，寻找解决问题的方法．我们假定一个网络能一笔画出来，那么这个网络中显然有一点为起点，另一点为终点，其他各点为通过点．设某点为起点，如果以某点为顶点的弧不只一条，那么由某点沿一条弧画出去，必沿另一条弧画回来，因此，最初是画出去，然后进出若干次后，把集中在某点的弧全部通过完毕为止，最后一次必须是画出去，所以在起点集中的弧必须是奇数条．而终点的情况刚好与起点相反，先是画进，再画出，进出若干次，最后一次必是画进，因此终点也集中奇数条弧．但起点与终点同为一点时，必是先出后进，中间或许经过若干次进出，最终回到起点．因此在该点集中的弧必是偶数条，而在中途通过的点所集中的弧显然也必定是偶数条．通过上面分析可知：一个网络中的点可分为两类，一类顶点集中了偶数条弧，另一类顶点集中了奇数条弧．我们称前者为偶点，后者为奇点．例如，在图2-149(b)中，A，B为奇点，C，D为偶点．通过对图2-148和图2-149的考察，我们可以直观地想到如下结论：(i)一个网络若能一笔画出来，其中偶点个数必须是0或2．(ii)一个网络中的奇点个数若是0或2，那么这个网络一定能一笔画出来．欧拉证明了以上两条猜想，得到了著名的欧拉定理：一个网络能一笔画的条件是当且仅当这个网络的任意两个顶点都有弧连接，并且奇数点的个数等于0或2．(4)回到原问题．利用欧拉定理，“七桥问题”很容易就解决了．因为在图2-147中，奇点个数是4，不满足欧拉定理的条件，因此不可能按约定条件通过七座桥．(5)推广．如果一个网络的奇点个数不是0或2，则这个网络不可能一笔画成．那么要多少笔才能画成呢？这就成为多笔画的问题了．多笔画的研究发展了网络理论的研究与应用，后来发展成现代数学的一个分支——图论．归纳上述分析方法，可以大致看出利用抽象分析法解决实际问题的思维过程：(1)把实际问题简单化，抽象成数学问题．(2)解决问题是靠发现事物间由简单到复杂、由特殊到一般的内在联系．(3)发现的思路是以具体实例作为经验观察，由简到繁地考察构成实例间的基本事实和关系；再由诸特例作出一般的归纳猜想，并加以理论证明．(4)应用论证后的法则，解决各种难题，实际上是化难为易．(5)把法则加以推广，以解决更多的实际问题，并扩展数学的理论和应用．2．数据处理法有些实际问题需要收集问题中的若干对应数据，从数据中观察相关变量的依存关系或对应关系，可以得到大致体现实际问题有关变量变化规律的数学模型，从而解答实际问题．下面举一个实例，说明这种方法的应用．例2怎样由树的断面直径来推断树的高度．解第一步：设计变量．根据这个问题，我们可以设预测的某种树的高度为y，离地面1.5米处的直径为x厘米．第二步：收集x，y的对应数据，为此我们测量12棵树的x，y的对应值，列表如表28．1．第三步：由对应数据求出y对x的函数关系式．常用的方法是作图法．把直径x看作自变量，高度y看作因变量．每一对(x，y)看作一个点，画在坐标纸上(图2-150)，作成散点图．从散点图可以直观地看出两个变量之间的大致关系．我们从图2-150可看出，y随x的增大而增大，并且这些点的分布近似一条直线．这时，我们在图上画出尽可能接近这些点的一条直线，自然，有些点正好在直线上，有的点却有所偏离，不在直线上，这说明有些误差，但如果重复测量几次，误差不会太大．因此，我们所画出的直线近似地表示着x和y之间的线性关系，所以这条直线的函数表达式——一次函数式就可作为树的高度y和直径x间的关系式了．下面我们就来求出这个一次函数式．设这条直线的一次函数式为：y=ax＋b．为了求出常数a，b，在直线上取两点，取点的原则是：为使直线位置稳定，取直线上距离较远的两点；为便于计算，取坐标数据整齐些的两点．为此，我们取点(4，8.6)和(40，26)，将此两点的坐标代入y=ax＋b，得方程组所以y=0.48x+6.68．第四步：利用上述函数关系式，根据直径x的数值，预报树高y的数值．例如，当x=15厘米时，树高y等于多少米？显然，此时y=0.48×15＋6.68=13.88(厘米)．这就是说，当树的直径为15厘米时，树高为13.88米．上面是用两对实验数据(两个点)求出的直线方程．利用实验数据的信息较少，因此准确性较差．下面利用平均值法改进一下，作法是：在直线的上、下取两组靠近直线的点，如(4，8.6)，(9.3，10.7)，(14.3，13.5)为一组；(32，22.4)，(40，26)，(42，28)为一组，用每组x，y的平均值(9.2，10.93)和(38，25.47)作为两点，再按上面的方法求出直线方程y=0.50x＋6.28，以此作为实验数据，y对x间的函数关系就比较准确些．说明上面的方法，是数学在解决实际问题时的一种应用，经常用在处理实验数据中，当实验数据为有序数对(x，y)时，相应地在直角坐标系中描出点(x，y)的散点图．如果散点图近于一条直线，要找出变量x，y间的函数关系时，就可用这种方法．然而由实验数据作出的散点图不一定近于直线，而近于一条曲线时，也可找到x，y间的函数关系式，不过需要更多的数学知识，我们在此就不介绍了．3．运筹优化法有些实际问题，可以根据问题的要求，首先筹划一些可行的处理方案，然后比较这些方案的优劣，选择其中一种或几种方案加以优化组合，并用数学方法加以处理，以便得到最佳的解决方案．下面举一个实例说明这种方法的应用．例3要做20个矩形钢框，每个由2.2米和1.5米的钢材各两根组成，已知原钢材长4.6米，应如何下料，使用的原钢材最省？分析与解要做成20个矩形的钢框，就需要2.2米和1.5米的钢材各40根．一种简单的想法是：在每一根原料上截取2.2米和1.5米的钢材各一根，这样每根原钢材剩下0.9米的料头，要做20个钢框，就要用原钢材40根，而剩下的料头总数为0.9×40=36米．显然，上述想法，浪费材料，不太合理．因此，我们可以考虑合理套裁，就可以节省原料．下面有三种下料方案可供采用．为了省料而得到20个钢框，需要混合使用各种下料方案．设用第Ⅰ种方案下料的原材料根数为x1；用第Ⅱ种方案下料的原材料根数为x2；用第Ⅲ种方案下料的原材料根数为x3．所谓原材料最省，也就是使所剩下的料头总和最少．为此根据表28．2的方案，可以列出以下的数学模型y=0.1x1+0.2x2＋0.9x3，解之得其中0≤x3≤40．把x1，x2代入y得可以看出，x3越大，y的值也越大，所以x3的取值应尽量小．当x3=0时，可取x1=14，x2=20．当x3=1时，x1=13，x2=20，都是用原材料34根，料头的总数为y=34×4.6-(2.2+1.5)×40=8.4(米)．所以，原材料最省的下料方案是：按方案Ⅰ下料13(或14)根，用方案Ⅱ下料20根，用方案Ⅲ下料1(或0)根，这样只需34根原材料就可做出20个钢框．练习二十八1．下列图形是否可以一笔画出？2．图2-154是3×3的方格型道路网，如果每个小方格的边长为1千米，那么由A点出发走完全部路段，最后又回到A点，最少要走多少千米？3．设x表示排在弹簧上的物品的重量(千克)，y表示弹簧伸长的长度(厘米)，已知(x，y)有如下的对应测量值：(1)画出此组数据的散点图；(2)求出y关于x的函数表示式；(3)当x=2.3千克时，试预报弹簧伸长的长度．4．有一批长50米的钢筋，现要截成长度为9.5米和7米的两种钢筋备用，问怎样截法可使原材料的利用率最高？并求利用率是多少？