第二十章 曲线积分与曲面积分

第二十章曲线积分与曲面积分1第一型曲线积分与曲面积分1．对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质．2．计算下列第一型曲线积分：(1)22()Lxyds，其中L是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形；(2)22Lxyds，其中L是圆周22xyax；(3)Lxyzds，其中L为螺线cos,sinxatyat,(0),02zbtabt；(4)222()Lxyzds，其中L与(3)相同；(5)4433()Lxyds，其中L为内摆线222333xya；(6)2Lyds，其中L为摆线的一拱(sin),(1cos),02xattyatt；(7)Lxyds，其中L为球面2222xyza与平面0xyz的交线；(8)()Lxyyzzxds，其中L同(7)；(9)Lxyzds，其中L是曲线3221,2,(01)32xtytztt；(10)222Lyzds，其中L是2222xyza与xy相交的圆周．3．计算下列第一型曲面积分：(1)22()SxydS，其中S是立体221xyz的边界曲面；(2)22SdSxy，其中S为柱面222xyR被平面0z和zH所截取的部分；(3)32||SxyzdS，其中S为曲面22zxy被1z割下的部分；(4)2SzdS，其中S为螺旋面的一部分：cos,sin,xuvyuvzv(0,02)uav；(5)22()SxydS，S是球面2222xyzR．4．设曲线L的方程为cos,sin,tttxetyetze0(0)tt，它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量．5．设有一质量分布不均匀的半圆弧cos,sin(0)xryr，其线密度a(a为常数)，求它对原点(0，0)处质量为m的质点的引力．6．求螺线的一支L：cos,sin,(02)2hxatyatztt对x轴的转动惯量22()LIyzds．设此螺线的线密度是均匀的．7．求抛物面壳221()2zxy，01z的质量．设此壳的密度z．8．计算球面三角形2222xyza，0,0,0xyz的围线的重心坐标．设线密度1．9．求均匀球壳2222xyza(0)z对z轴的转动惯量．10．求均匀球面222zaxy(0,0,)xyxya的重心坐标．11．若曲线以极坐标给出：()12()，试给出计算(,)Lfxyds的公式，并用此公式计算下列曲线积分：(1)22xyLeds，其中L是曲线(0)4a；(2)Lxds，其中L是对数螺线(0)kaek在圆ra内的部分．12．求密度0的截圆锥面cos,sin,(02,0)xryrzrbra对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力．当0b时，结果如何？13．计算()(,,)SFtfxyzdS，其中S是一平面xyzt，而2222222221,1,(,,)0,1.xyzxyzfxyzxyz当当.2第二型曲线积分与曲面积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)(2)Laydxdy，其中L为摆线(sin),(1cos),(02)xattyatt沿t增加的方向；(2)22Lxdxydydsxy，其中L为圆周222xya依逆时针方向；(3)Lxdxydyzdz，其中L为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段；(4)22(2)(2)Lxxydxyxydy，L为2yx从(1,1)到(-1,1)；(5)22()Lydxxdyxydz，L为曲线,,ttxeyezat从(1,1,0)到1(,,)eea；(6)2222()()Lxydxxydy，L为以(1,0),(2,0),(2,1),(1,1)ABCD为顶点的正方形沿逆时针方向．2．计算曲线积分222222()()()Lyzdxzxdyxydz．(1)L为球面三角形2221xyz，0,0,0xyz的边界线，从球的外测看去，L的方向为逆时针方向；(2)L是球面2222xyza和柱面22xyax(0)a的交线位于Oxy平面上方的部分，从x轴上(,0,0)b()ba点看去，L是顺时针方向．3．求闭曲线L上的第二型曲线积分22Lydxxdyxy，(1)L为圆222xya，逆时针方向；(2)L为椭圆22221xyab，顺时针方向；(3)L为以(0,0)为中心，边长为a，对边平行于坐标轴的正方形，顺时针方向；(4)L是以(-1,-1)，(1,-1)，(0,1)为顶点的三角形，顺时针方向．4．求力场F对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线L从A点运动到B点：(1)22(2,2)Fxxyyxy，L为平面曲线2yx，(0,0),(1,1)AB；(2)(,)Fxyxy，L为平面曲线1|1|yx，(0,0),(2,0)AB；(3)(,,)Fxyyzzx，L的矢量形式为23()rttitjtk，(0,0,0),(1,1,1)AB；(4)222(,,)Fyzx，L的参数式为cos,sin,xtytzt（,,为正数），(,0,0),(,0,2)AB．5．设,,PQR在L上连续，L为光滑弧段，弧长为l，证明：||LPdxQdyRdzMl．其中222(,,)maxxyzLMPQR．6．设光滑闭曲线L在光滑曲面S上，S的方程为(,)zfxy，曲线L在Oxy平面上的投影曲线为l，函数(,,)Pxyz在L上连续，证明：(,,)(,,(,))LlPxyzdxPxyfxydx．7．计算LIxyzdz，其中L：2221xyz与yz相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限．8．计算下列第二型曲面积分：(1)22()()Syxzdydzxdzdxyxzdxdy，其中S为0xyz，xyza六个平面所围的正立方体的外测；(2)()()()Sxydydzyzdzdxzxdxdy，其中S是以原点为中心，边长为2的正立方体表面的外测；(3)Syzdzdx，S为2222221xyzabc的上半部分的上测；(4)Szdxdyxdydzydzdx，S为柱面221xy被平面0z及3z所截部分的外测；(5)Sxydydzyzdzdxxzdxdy，S是由平面0xyz和1xyz所围的四面体表面的外测；(6)333Sxdydzydzdxzdxdy，S为球面2222xyza的外测；(7)222Sxdydzydzdxzdxdy，S是球面2222()()()xaybzcR的外测．9．设某流体的流速为(,,0)vky，求单位时间内从球面2224xyz的内部流过球面的流量．10．设流体的流速为55(,0,)xvxyzx，求穿过柱面222()xyahzh外测的流量．