第二十章重积分的计算及应用

第1页共6页第二十章重积分的计算及应用§1.二重积分的计算1．将二重积分(,)Dfxydxdy化为不同顺序的累次积分：(1)D由x轴与222(0)xyry所围成；(2)D由,2yxx及1(0)yxx所围成；(3)D由33,2,1yxyxy和2y围成；(4)(,)1Dxyxy．2.计算下列二重积分：(1)(2)Dyxdxdy，3,51,2D；(2)cos()Dxydxdy，0,0,2D；(3)22xyDxyedxdy，,,Dabcd；(4)1Dxdxdyxy，0,10,1D．3.改变下列累次积分的次序：(1)2230(,)yydyfxydx；(2)221(,)xdxfxydy；(3)2113(3)20010(,)(,)xxdxfxydydxfxydy．4.设(,)fxy在所积分的区域D上连续，证明(,)(,)bxbbaaaydxfxydydyfxydx．5.计算下列二重积分：(1)mkDxydxdy(,0mk),D是由22(0),2pypxpx围成的区域；第2页共6页(2),DxdxdyD是由20,sin,0yyxx和x围成的区域；(3),DxdxdyD：22xyx；(4),DxydxdyD：222xya；(5)(),DxydxdyD由,1,0,1xyeyxx所围成；(6)22,DxydxdyD由2,0,2,2xyxxyx所围成；(7),xyDedxdyD是以(2,2),(2,3)和(3,1)为顶点的三角形；(8)sin,DnxdxdyD由2,4yxyx和4y所围成．6.求下列二重积分：(1)2110yxIdxedy；(2)21120yxIdxxedy；(3)22220sinyIdyyxdx．7.改变下列累次积分的次序：(1)11000(,,)xxydxdyfxyzdz；(2)2211000(,,)xydxdyfxyzdz；(3)210101(,,)xydxdyfxyzdz；(4)222211111(,,)xxxydxdyfxyzdz．8.求下列立体之体积：(1)V由2222222,2xyzrxyzrz所确定；(2)V由222,,2zxyyxz所确定；(3)V是由坐标平面及2,3,4xyxyz所围成的角柱体．9.用极坐标变换将(,)Dfxydxdy化为累次积分：(1)D：半圆222,0xyay；(2)D：半环2222,0axybx；第3页共6页(3)D：圆22xyay(0)a；(4)D：正方形0,0xaya．10.用极坐标变换计算下列二重积分：(1)22sin,DxydxdyD：22224xy；(2)(),DxydxdyD是圆22xyxy的内部；(3)22(),DxydxdyD由双纽线222222()()(0)xyaxyx围成；(4),DxdxdyD由阿基米德螺线r和半射线围成；(5),DxydxdyD由对数螺线re和半射线0,2围成．11.在下列积分中引入新变量,uv，将它们化为累次积分：(1)2201(,),xxdxfxydy若,uxyvxy；(2)(,)bxaxdxfxydy(0,0ab)，若,yuxvx；(3)(,)Dfxydxdy，其中D＝,,0,0xyxyaxy，若44cos,sinxuvyuv；(4)(,)Dfxydxdy，其中D＝,,0,0xyxyaxy(0a)，若,xyuyuv．12.作适当的变量代换，求下列积分：(1)22(),DxydxdyD是由441xy围成的区域；(2)(),DxydxdyD由22224,9,4,9yxyxxyxy围成；(3),DxydxdyD由2,4,,2xyxyyxyx围成．§2.三重积分的计算1.利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1)222,,0zxyxyaz；(2)22222,0,hzxyzxyRR；第4页共6页(3)球面2222xyza与圆柱面22xyax（0a）的公共部分；(4)2222222222221,xyzxyzabcabc(0z)；(5)22222,24949xyxyzz；(6)22,zxyzxy．2.求曲线222222xyxyabc所围成的面积．3.用柱坐标变换计算下列三重积分：(1)222()Vxydxdydz，V由曲面22,4,16zxyzz围成；(2)322Vxydxdydz,V由曲面22222229,16,,0xyxyzxyz围成．4.用球坐标变换计算下列三重积分：(1)(),VxyzdxdydzV：2222Rxyz；(2)5222Vxyzdxdydz,V由2222xyzz围成；(3)2Vxdxdydz，V由222222,8xyzxyz围成．5.作适当的变量代换，求下列三重积分：(1)22Vxyzdxdydz，V由2222,,,,,xyxyzzxycxydyxyxab围成的立体，其中0,0ab；(2)2Vxyzdxdydz，V同(1)；(3)4Vydxdydz，V由22,xazxbz(0,0zab)，,xyxy(0)以及(0)xh围成；(4)222222xyzabcVedxdydz，V由2222221xyzabc围成；第5页共6页(5)22222112200xxyxydxdyzdz．6.求下列各曲面所围立体之体积：(1)22222,2(),,zxyzxyyxyx；(2)221xyzabc(0,0,0,0,0,0xyzabc)．7.计算下列三重积分：(1)(),VxyzdxdydzV：2222xyza；(2),VzdxdydzV由曲面22,1,2zxyzz所围成；(3)4(1),VxdxdydzV由曲面222,2,4xzyxx所围成；(4)3,VxyzdxdydzV是由曲面2221,0,0,0xyzxyz围成的位于第一卦限的有界区域；(5)23,VxyzdxdydzV由曲面,,0,1zxyyxzx所围成；(6)cos(),VyxzdxdydzV是由,0,0yxyz及2xz所围成的区域．§3.积分在物理上的应用1．求下列均匀密度的平面薄板的质心：(1)半椭圆22221,0xyyab；(2)高为h，底分别为a和b的等腰梯形；(3)(1cos)(0)ra所界的薄板；(4)2,2(0)ayxxyaa所界的薄板．2．求下列密度均匀的物体的质心：(1)221,0zxyz；(2)由坐标面及平面21xyz所围成的四面体；(3)22,,0,0,0zxyxyaxyz围成的立体；第6页共6页(4)222(0)zxyz和平面zh围成的立体；(5)半球壳22222,0axyzbz．3．求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量：(1)边长为a和b，且夹角为的平行四边形，关于底边b的转动惯量；(2)2,1yxy所围平面图形关于直线1y的转动惯量．4．求由下列曲面所界均匀体的转动惯量：(1)22,1,1,0zxyxyxyz关于z轴的转动惯量；(2)长方体关于它的一棱的转动惯量；(3)圆筒2222axyb，hzh关于x轴和z轴的转动惯量．5．设球体2222xyzx上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量．6．求均匀薄片222R,0xyz对z轴上一点(0，0，c)(c0)处单位质点的引力．求均匀柱体222,0xyazh对于(0，0，c)(ch)处单位质点的引力．§4.广义重积分1．设y轴将平面有界区域D分成对称的两部分1D和2D，证明：(1)若(,)fxy关于x为奇函数，即(,)(,)fxyfxy，则(,)0Dfxydxdy；(2)若(,)fxy关于x为偶函数，即(,)(,)fxyfxy，则12(,)2(,)2(,)DDDfxydxdyfxydxdyfxydxdy．