第二单元不等式

1第二单元不等式一教学要求1.理解不等式的基本性质.2.掌握区间的概念.3.掌握一元二次不等式的解法.4.了解含绝对值的不等式｜ax＋b｜c(或c)的解法.5.通过解一元二次不等式的教学，培养学生计算技能.二教材分析和教学建议(一)编写思路1.结合中职学生思维特点，注重在知识的浅层挖掘，便于学生对所学知识的掌握与应用.教材对不等式的性质，只集中介绍了三条最重要与最常用的，并对其进行了证明.2.经历从实际情境中抽象出区间、一元二次不等式等模型的过程.3.通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系.4.严格控制不等式的性质，把绝对值不等式控制在一元一次的范围内.对于绝对值不等式｜ax+b｜c或｜ax+b｜c型，绝对值符号内限定为x的一次式,而c则不出现负数或零，同时使练习及习题的难度与例题相一致，以便保证各种水平的学生都能达到会解绝对值不等式的要求.本单元教学的重点是一元二次不等式和含绝对值的一元一次不等式的解及解的区间表示.本单元教学的难点是不等式基本性质的证明，含绝对值的一元一次不等式的解法.(二)课时分配本单元教学约需8课时，分配如下(仅供参考)：2.1不等式的基本性质约2课时2.2区间的概念约1课时2.3一元二次不等式约3课时2.4含绝对值的不等式约1课时归纳与总结约1课时2(三)内容分析与教学建议2.1不等式的基本性质1.本节内容包括两部分，前半部分介绍实数大小的基本性质，后半部分证明不等式的三个基本性质。2.实数大小的基本性质a-b0ab，a-b=0a=b,a-b0ab,反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系，它是本单元整个内容的出发点，是证明不等式基本性质的依据.3.求差比较法是实数大小的基本性质的一种应用.求差比较法应分为四个步骤，即作差——变形——判断正负——确定大小关系.在教学中，应针对每个例题分别指出这四个步骤.4.例1和例2是两个比较分数大小的例题.在“变形”这一步涉及到分数通分运算，讲前需进行适当复习.例3是一个比较代数式大小的例题，比较两个代数式的大小，实际上是比较它们值的大小，因此仍然是在比较两个实数的大小，应使学生建立这种概念.5.学生在初中已经知道了不等式的一些性质.这一节教材，只总结了三个基本性质并给出证明.性质1通常叫做不等式的传递性；性质2叫做不等式加法的单调性或保序性，为了便于学生理解，不增加不必要的学习障碍，教材把它叫做加法法则；性质3通常叫做不等式乘法的单调性，同样的理由，教材中把它叫做不等式的乘法法则.至于它们的几个重要推论，则安排在“练习”中.第31页练习第3题的证明：ab，cda+cb+c,b+cb+da+cb+d.第31页练习第4题的证明：ab0,cd0acbc,bcbdacbd.这两道证明题可以分别看做是性质2和性质3的推论.6.不等式性质的研究是培养类比思维能力很好的载体.我们知道，等式的性质是从数的运算角度提出的，研究等式在运算过程中的不变性，学生比较熟悉，例如，“等式两边同加(减)一个数，等式仍然成立”“等式两边同乘(除)一个非零数，等式仍然成立”等.由于不等式也是研究实数的关系，认知基础和等式一样，是关于数及其运算的基础知识，以及研究数的性质时所用的基本方法.因此，对不等式的研究，联系数的运算(加、减、乘、除、乘方、开方等)来思考不等式在运算过程中的变化规律是非常自然的.在开始不等式性质探究之前，对实数大小的基本性质的交待是必要的.因为不等式的基本性质的讨论是以实数大小关系为出发点，借助于实数大小的基本性质研究不等式，其基本3思想是将个别的、互不相同的实数大小比较问题，转化为同一的与0的大小比较问题(判断两个实数差的符号)，即0为实数比较大小提供了“标杆”，所以，这一思想简单但非常重要，是不等式性质证明的基础.教学中可以先让学生思考等式的基本性质及其得出过程(实际上是研究作加法、乘法等运算时等式是否仍然成立)，然后再引导学生思考如何研究不等式的基本性质，并猜想有哪些不等式的基本性质.这里，需要明确类比等式与不等式中运算的规律性，以及等式与不等式的差异，一般来说，不等式的性质比等式要“坏”一些.例如，等式两边同乘一个数，等式仍然成立；但对不等式却不成立，只有当两边同乘一个正数时，不等号保持不变，而当两边同乘一个负数时，不等号变向.对研究方法的指导是重要的，通过与等式的性质的类比，不但可以得到一些不等式基本性质的猜想，更重要的是对研究方法的启发，可以使学生感受到数学知识发生发展的自然而亲切，获得不等式基本性质的水到渠成.数学教学最重要的是要使学生学会思维，学会数学思考.思维能力的培养不是一朝一夕的事情，需要长期地潜移默化，并落实在每一节课堂上.2.2区间的概念在集合一章中，我们用集合的描述法来表示不等式的解集，并可以把不等式的解集在数轴上表示.不等式的解集还有另一种表示形式，这就是区间，将它们归纳起来，可有下面两种情况：(1)a,b∈R且ab(2)集合名称区间数轴表示{x|axb}开区间(a，b){x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a≤xb}半开半闭区间[a，b){x|ax≤b}半开半闭区间(a，b](2)a∈R集合区间数轴表示｛x｜xa}(a,+∞)｛x｜xa｝(-∞，a)｛x｜x≥a｝［a,+∞)4｛x｜x≥a｝(-∞,a］R(-∞，+∞)2.3一元二次不等式本节教材首先从实际情境中抽象出一元二次不等式的定义及标准形式.其次，给出了一元二次不等式的分解因式解法.第一步达标把一元二次不等式整理成标准形式，即ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0).如果利用一元二次方程的根分解二次三项式，则将二次项系数化为1.第二步分解把标准形式左边的二次三项式分解因式，写成关于未知数的两个因式的积的形式.第三步化组利用乘积的符号法则，转化成两个一元一次不等式组.第四步求组解分别解每个一元一次不等式组，求出它们的解集.第五步定原解每个一元一次不等式组的解集的并集，就是原一元二次不等式的解集.综上所述，用因式分解法解一元二次方程的步骤为:达标——分解——化组——求组解——定原解.这个步骤可以引导学生自己总结出来.需要指出的是，有两种情况，它的解是不能通过因式分解求得的，即当a0，ax2+bx+c0时，解集为整个实数域R；当a0，ax2+bx+c0时，解集为空集.这是用因式分解求解一元二次不等式不能解决的问题，因而，因式分解方法具有一定的局限性.利用因式分解法求解一元二次不等式除了具有上述所说的局限性之外，还容易使教师强调十字相乘法，而十字相乘法分解因式是目前初中数学教学削弱的内容.我们应该认识到，十字相乘法只是一种特殊的技巧，求根公式才是通性通法，教学应首先讲解求根公式解二次不等式，在学生对其形成深刻认识的基础上，再将十字相乘法作为一种特殊技巧介绍给学生，千万不可本末倒置.最后，通过观察具体的二次函数图像和其相应的一元二次方程根的关系,得出一般的一元二次不等式解集的图像求法.我们先确定一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)对应的一元二次函数y=ax2+bx+c的图像.①当a0时，有三种情况，如图2-1中的(1)、(2)、(3)所示.5图2-1当函数y=ax2+bx+c的图像如图2-1(1)所示时，对应的不等式解集为整个实数域R；当函数y=ax2+bx+c的图像如图2-1(2)所示时，对应的不等式解集为｛x∈R｜x≠x1｝；当函数y=ax2+bx+c的图像如图2-1(3)所示时，对应的不等式解集为｛x｜xx1或xx2｝.②当a0时，有三种情况，如图2-2中的(1)、(2)、(3)所示.图2-2当函数y=ax2+bx+c的图像如图2-2(1)所示时，对应的不等式的解集为｛x｜x1xx2｝；当函数y=ax2+bx+c的图像如图2-2中的(2)、(3)所示时，对应的不等式解集均为空集.用算法的思想，对任意一个一元二次不等式，可按图2-3的流程图求解.数学教师把握每一部分内容在整个课程中的定位时，应该理解和明确这部分知识的学习目的.20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学.克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂.以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合.”因而，用“函数”认识其他的数学内容是非常重要的.而利用图像法求解一元二次不等式的过程，可以全面的复习和深入地认识三个“二次”：二次函数、一元二次不等式、一元二次方程，以及它们之间的联系.一元二次不等式反映函数的部分性质，如，什么时候二次函数的值大于零?什么时候二次函数的值等于零?什么时候二次函数的值小于零?用二次函数求解一元二次不等式，不仅得到了一元二次不等图2-36式的解集，同时加深了对函数的认识和理解.2.4含绝对值的不等式教材首先复习有关绝对值的基本概念，即|a|＝a(a0)，0(a＝0)，－a(a0)；|ab|＝|a|·|b|；ba＝|b||a|(a≠0)．然后讲了关于形如|x|a，|x|a(a0)不等式的解法，且有：当a0时，|x|a⇔x2a2⇔－axa，|x|a⇔x2a2⇔xa或x－a.在解含有绝对值的不等式时，这些知识经常要用到，必须使学生熟练掌握.然后利用换元法解｜ax+b｜c及｜ax+b｜c(c0)型的不等式.显然这里换元法是个难点.在教学中，重点应放在例1的分析讲解上，帮助学生掌握解此类不等式的过程.(四)复习建议1.构建知识结构2.梳理知识要点见本单元教材《归纳与总结》.3.需要注意的问题(1)用因式分解法解一元二次不等式的步骤归纳为达标、分解、化组、求组解、定原解等五个步骤.(2)从函数的观点看，一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像在x轴上方部分的横坐标x的集合.由此，利用二次函数的图像就可以解一元二次不等式.4.典型例题见本单元教材《归纳与总结》，通过这道例题复习一元二次不等式的解法.