第二章 第9节 函数与方程

1第二章第九节函数与方程题组一函数零点的判定1.若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定解析：若函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f(－2)f(2)0.若不是变号零点，则f(－2)f(2)0.答案：D2.设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1]B.[1,2]C.[－2，－1]D.[－1,0]解析：∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－230，f(0)＝30－0＝10，∴函数f(x)＝3x－x2在区间[－1,0]内存在零点.答案：D3.(2010·苏北三市联考)若方程lnx＋2x－10＝0的解为x0，则不小于x0的小整数是.解析：令f(x)＝lnx＋2x－10，则f(5)＝ln5＞0，f(4)＝ln4－2＜0∴4＜x0＜5∴不小于x0的最小整数是5.答案：5题组二函数零点的求法4.(2009·福建高考)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A.f(x)＝4x－1B.f(x)＝(x－1)2C.f(x)＝ex－1D.f(x)＝ln(x－12)解析：∵4个选项中的零点是确定的.A：x＝14；B：x＝1；C：x＝0；D：x＝32.又∵g(0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，2g(12)＝124＋2×12－2＝1＞0，∴g(x)＝4x＋2x－2的零点介于(0，12)之间.从而选A.答案：A5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.5B.4C.3D.2解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且周期是3，f(2)＝0，∴f(2)＝f(5)＝f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.答案：B6.设函数f(x)＝2221,,2xxxxx(-,1)则函数F(x)＝f(x)－14的零点是.解析：当x≥1时，f(x)－14＝2x－2－14＝2x－94＝0，∴x＝98.当x＜1时，x2－2x－14＝0，∵Δ＝4＋1＞0，∴x＝2±4＋12＝2±52，又∵x＜1，∴x＝2－52.∴函数F(x)＝f(x)－14有两个零点98和2－52.答案：98，2－52题组三函数零点的应用7.若二次函数y＝ax2＋bx＋c中a·c0，则函数的零点个数是()A.1个B.2个C.0个D.不确定解析：∵c＝f(0)，∴ac＝a·f(0)0.∴a与f(0)异号，即,aaff00,或(0)0(0)0.∴函数必有两个零点.答案：B8.已知函数f(x)＝x|x－4|－5，则当方程f(x)＝a有三个根时，实数a的取值范围是.3A.－5＜a＜－1B.－5≤a≤－1C.a＜－5D.a＞－1解析：f(x)＝x|x－4|－5＝2245,4,45,4xxxxxx≥在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直线y＝a与该函数的图象有三个交点时，a的取值范围是－5a－1.答案：A9.(2009·山东高考)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是.解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.答案：(1，＋∞)10.已知关于x的二次函数f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根；(2)若12＜t＜34，求证：方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根.解：(1)证明：由f(1)＝1知f(x)＝1必有实数根.(2)当12＜t＜34时，因为f(－1)＝3－4t＝4(34－t)＞0，f(0)＝1－2t＝2(12－t)＜0，f(12)＝14＋12(2t－1)＋1－2t＝34－t＞0，所以方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根.11.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围.解：若a＝0，则f(x)＝2x－3显然在[－1,1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝－3±72.①当a＝－3－72时，y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；而a＝－3＋72时，经检验不符合要求.②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)≤0时，得1≤a≤5，因当a＝5时，方程f(x)＝0在[－1,1]4上有两个相异实根，故1≤a＜5时，y＝f(x)在[－1,1]上恰有一个零点；③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则2282448244111111,221111aaaaaaaaffff0000或()≥0()≤0(-)≥0(-)≤0解得a≥5或a＜－3－72.综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥1或a≤－3－72}.