第二章 时间序列分析的基本概念(上海财经大学统计学系 )

上海财经大学统计学系1时间序列分析的基本概念•随机过程基础概念和基本理论介绍•平稳过程的特征及遍历性•线性差分方程•动态数据预处理上海财经大学统计学系2时间序列分析的基本概念•§2.1随机过程•描述在对某些随机现象的变化过程进行研究时，需要考虑无穷多个随机变量，必须用一簇随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计特征，这样的随机变量族通常称为随机过程。•例子上海财经大学统计学系3时间序列分析的基本概念设是一列独立同分布的随机变量序列，令则称随机变量序列为随机游动。其中是与相互独立（但是不同分布）的随机变量，一般地，我们总是假定。如果就是一般概率论与数理统计教材中提到的简单随机游动。12,,XX12,,XX12,,XX12,,XX012nnSSXXX;0,1,nSn0S00S1112nnPXPXnS12,,XX上海财经大学统计学系4时间序列分析的基本概念英国植物学家布朗注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，它是分子大量随机碰撞的结果。这种运动后来称为布朗运动。若记为粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上的布朗运动。))(),((tYtX))(),((tYtX上海财经大学统计学系5时间序列分析的基本概念在通信工程中，电话交换台在时间段[0，t]内接到的呼唤次数是与t有关的随机变量，对于固定的t，是一个取非负整数的随机变量，则是随机过程。)(tX)(tX)},0[),({ttX上海财经大学统计学系6时间序列分析的基本概念随机试验所有可能结果组成的集合称为这个试验的样本空间，记为，其中的元素称为样本点或基本事件，的子集A称为事件，样本空间称为必然事件，空集称为不可能事件，F是的某些子集组成的集合组，P是上的概率。),(F上海财经大学统计学系7时间序列分析的基本概念随机过程是概率空间上的一族随机变量，其中t是参数，它属于某个指标集T，T称为参数集。),,(PF}),({TttX上海财经大学统计学系8时间序列分析的基本概念随机过程的一维分布，二维分布，…，n维分布，等等，其全体称为过程的有限维分布族。}1,,,),,,({11,,1nTttxxFnnttn)(tX上海财经大学统计学系9一个随机过程的有限维分布族性质•对称性：对的任一排列，有•相容性：对，有),,(),,(1,,,,111nttjjttxxFxxFnnnjj),,2,1(n),,,(21njjjnm),,(),,,,,(1,,1,,,,,111mttmttttxxFxxFmnmm上海财经大学统计学系10时间序列分析的基本概念定理2.1柯尔莫哥洛夫定理设分布函数族满足上述的对称性和相容性，则必存在一个随机过程，使恰好是的有限维分布族。}1,,,),,,({11,,1nTttxxFnnttn}),({TttX}1,,,),,,({11,,1nTttxxFnnttn)(tX上海财经大学统计学系11时间序列分析的基本概念设是一个随机过程，如果对任意存在，则分别称函数为的均值函数、协方差函数、方差函数。}),({TttXTt)]([tXETttXEtX)],([)(TtsttXssXEtsrXXX,))],()())(()([(),(TtsttXEttrtDXXX,,)]()([),()(2}),({TttX上海财经大学统计学系12时间序列分析的基本概念•严平稳•宽平稳•遍历性上海财经大学统计学系13时间序列分析的基本概念如果随机过程对任意的和任意的（使得），有：与具有相同的联合分布，记为：则称为严平稳的。}),({TttXTttn,,1hniThti,,2,1,))(,),(),((21htXhtXhtXn))(,),(),((21ntXtXtX))(,),(),((21htXhtXhtXnd))(,),(),((21ntXtXtX}),({TttX上海财经大学统计学系14时间序列分析的基本概念设是一个随机过程，若的所有二阶矩都存在，并且对任意，为常数，对任意，只与时间差有关，则称为宽平稳过程，简称平稳过程。若T是离散集，则称平稳过程为平稳序列。}),({TttX}),({TttXTt)]([tXETts,),(tsrst}),({TttX}),({TttX上海财经大学统计学系15时间序列分析的基本概念设为均方连续的平稳过程，则分别称为该过程的时间均值和时间相关函数。}),({ttXTTTdttXTtX)(21lim)(TTTdttXtXTtXtX)()(21lim)()(上海财经大学统计学系16时间序列分析的基本概念设为均方连续的平稳过程，若则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若则称该平稳过程的协方差函数具有各态历经性。}),({ttXXTTTdttXT)(21lim)()()(21limXTTTrdttXtXT上海财经大学统计学系17时间序列分析的基本概念如果均方连续的平稳过程的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。上海财经大学统计学系18时间序列分析的基本概念•（1）设是平稳序列，其协方差函数为，则X具有遍历性的充分必要条件是•（2）设是平稳过程，则X具有遍历性的充分必要条件是}2,1,0,{nXXn)(tr0)(1lim10NtNtrN},{tXXt0)()21(1lim20TTdrTT上海财经大学统计学系19时间序列分析的基本概念若，则均值遍历性定理成立。dttr)(上海财经大学统计学系20时间序列分析的基本概念设是平稳过程，其均值函数为零，则协方差函数有遍历性的充分必要条件是其中},{tXXt0))0()()(21(1lim201211TTdrBTT)()()()()(111tXtXtXtEXB上海财经大学统计学系21时间序列分析的基本概念如果随机过程是由一个不相关的随机变量序列构成，即对于所有，随机变量和的协方差均为零，即随机变量和互不相关，则称其为纯随机过程。对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差都为常数，则称其为白噪声过程。白噪声过程的样本实现称为白噪声序列（Whitenoise）。),2,1)((ttXtstXsXtXsX上海财经大学统计学系22时间序列分析的基本概念•一阶差分方程•p阶差分方程上海财经大学统计学系23时间序列分析的基本概念•定义假定当前时期t期的y（输出变量）和另一个变量（输入变量）、及前一期的y之间存在如下动态方程：，则此方程称为一阶线性差分方程，这里假定为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值之间关系的表达式。•解方程1ttyy上海财经大学统计学系24时间序列分析的基本概念•用递归替代法解差分方程•动态乘子或tttttyy11011tty0jtjty上海财经大学统计学系25时间序列分析的基本概念如果动态系统中的输出依赖于它的p期滞后值以及输入变量:此时可以写成向量的形式，定义tyttptptttyyyy2211121ptttttyyyy0100000100001121ppF000ttv上海财经大学统计学系26•定理2.4矩阵F的特征根由满足下式的值组成：•定理2.5如果矩阵F特征值是相异的，则012211ppppppikkkipiic11)(上海财经大学统计学系27时间序列分析的基本概念•平稳性检验•正态性检验•独立性检验•离群点的检验与处理上海财经大学统计学系28时间序列分析的基本概念•平稳性的参数检验法•平稳性的非参数检验法•时序图检验法上海财经大学统计学系29时间序列分析的基本概念•拟合优度检验样本统计量为21022)(kjjjjFFN2上海财经大学统计学系30时间序列分析的基本概念•Bartlett公式若在时趋于零，则在N足够大的情况下其方差为并且，当时，近似于正态分布。)(rMr)()(ˆ1)](ˆ[2MrmNrDMMmMr)(ˆr上海财经大学统计学系31时间序列分析的基本概念•离群点是指一个时间序列中，远离序列一般水平的极端大值和极端小值，也成为奇异值或野值。•形成离群点的原因是多种多样的，例如由于数据传输过程、采样及记录过程中发生信号失真或丢失等而产生，又如研究现象本身由于受各种偶然非正常的因素影响而形成离群点等等。•线性外推的方法来寻找和剔出离群点