第二章-波函数与薛定谔方程lt

第二章例题剖析1求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。[解]一维谐振子的波函数为)(!222212/1xHennxnn式中2222)()1()(xnnxnnexddexH为厄密多项式。对于第一激发态xedxdeHxx21)1(222211故2213212112222222xxxexe处在第一激发态的几率正比于2223212xex欲求其最大值，必须满足0)(222xexdxd即有022222232xxexxe1maxx讨论：①在1处2有极值，这是由于一维谐振子的波函数本来就是对原点对称的缘故，这从物理上看是很清楚的，当0x及x时，几率02，故x和几率的关系大致如图示。②假如过渡到经典情况，相当于0，这时0maxx。这在经典力学看来是完全合理的，因为从经典的观点来看，谐振子处在原点几率最大，因为处在原点势能最低。2．设在0t时，粒子的状态为kxkxAxcos21sin)(2求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。11021x[解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态)(x总可以分解为单色平面波的线性和，即pxiePcx21)()(，展开式的系数的模方2)(Pc表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照22)()(PcpPcP求平均值。kxkxAxcos21sin)(222122ikxikxikxikxeeieeAikxikxikxikxeeeeA24222022422222ikxikxixikxikxAeeeee在0t时，动量有一定值的波函数，即单色德布罗意平面波为xpie21，与)(x的展开式比较可知，处在)(x状态的粒子动量可以取kpkppkpkp54321,,0,2,2，而2421Acc，24,22543AccAc粒子动量的平均值为0)11211(162)0422(162222222222AkkkkAcpcpnnnA可由归一化条件确定2221)11411(1621AAcn故1A粒子动能的平均值为)044(2116222222222222kkkkAcTcTnnn2285k。方法二：直接积分法dxexpcpxi)(21)(xdexdeAxpkixpki)2()2(212124xdexdexpkixip)(2122xdexpki)(21)(2)2()2(24pkpkpA)()(kpkp根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故p的可能值有kpkppkpkp54321,,0,2,2而24,22,2454321AccAcAcc则有1,0Ap及2285kT。讨论：①由于单色德布罗意平面波当r时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。②本题的)(x不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即这时对应于波函数)(x的p是分立谱而不是连续谱，因此计算)(pc积分，得到函数。3一粒子在一维势阱axaxUxU00)(0运动，求束缚态（00UE）的能级所满足的方程[解]因)(xU与时间无关，体系的波函数)(x满足定态Schrödinger方程：0)()]([2)(222xxUEdxxd即0)(2)(222xExdxdax0)()(2)(0222xEUxdxdax令222E202)(2EU在00UE的情况下，，均为实数。以上方程可简写成0)()(222xdxxdax)(xU0UIⅡIIIaa0)()(222xdxxdax方程的解为：axcexaxBexaxxAxxxx)()()sin()()(321由波函数)(x及其一阶微商dxxd)(，在ax，ax处连续，即)()(12aa：)sin(aABea（1）)()(13aa：)sin(aAcea（2）)()(12aa：)cos(aABea（3）)()(13aa：)cos(aAcea（4）由（1）、（3）两式，可得)(actg（5）由（2）、（4）两式，可得)(actg（6）比较（5）式和（6）式，)()(actgactgkaa2k,2,1,0k)12(2)12(kkaa,2,1,0k将2,0分别代入（5）式（或（6）式）actg)0(（7）atg)2(（8）将、值代入（7）式和（8）式，则得到能量所满足的方程EEUEctga022（9）EEUEtga022（10）由此可见，体系的能量值由超越方程（7）和（8）（或（9）和（10））解出，它们可以用如下图解法求解，令22Eaax（11）20)(2EUaay（12）能级2222xaE，就可以由以下曲线交点（如果有的话）获得，即分别求曲线方程组：220222aUyxyxctgx或220222aUyxyxtgx在0x，0y区域内的交点，如下图所示从图可以看到，束缚态的数目随园)2(202222aURRyx的半径R增加而增加，即随乘积02Ua（“势阱参量”）的增加而增加，如果02Ua是有限的，则束缚态的数目也是有限的。如果),3,2,1,0(212NNRN，则束缚态的数目是1N个[附]求对应的本征波函数，为此将0代入（1）、（2）式，有CB所以得到一组解axBexaxBexaxxAxxxx)()(sin)()(321（13）同理，将代入（1）、（2）式，有CB，于是得到另一组解y=xtgxy=-xctgxy=xctgxy=-xctgxy=xtgxy=-xctgxy=xtgxy=-xctgxyx2232253274axBexaxBexaxxAxxxx)()(cos)()(321（14）第一组解是奇函数，第二组解是偶函数，因而体系的波函数具有确定宇称。这正是势场)()(xUxU所导致的必然结果。奇宇称解（13）对应由（7）式或（9）式确定的能量E，偶宇称解（14）对应由（8）式或（10）确定的能量E。A、B为归一化常数，由归一化条件1)(2dxx确定。