第二章圆锥曲线与方程单元检测(人教A版选修1-1)

第二章圆锥曲线与方程单元检测（人教A版选修1-1）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为()A．x2＝－28yB．y2＝28xC．y2＝－28xD．x2＝28y解析由条件可知p2＝7，∴p＝14，抛物线开口向右，故方程为y2＝28x.答案B2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝1解析依题意知c＝1，e＝ca＝12，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.答案D3．双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是()A．m12B．m≥1C．m1D．m2解析由e2＝ca2＝1＋m1＝1＋m2，m1.答案C4．椭圆x225＋y29＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是()A．(5,0)或(－5,0)B．(52，332)或(52，－332)C．(0,3)或(0，－3)D．(532，32)或(－532，32)解析|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2＝25.当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，此时P点是短轴端点，故选C.答案C5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.x236－y2108＝1B.x29－y227＝1C.x2108－y236＝1D.x227－y29＝1解析本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．依题意知ba＝3，c＝6，c2＝a2＋b2，⇒a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为x29－y227＝1.答案B6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A，P，N三点共线时取等号，∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D项，故选B.答案B7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4或－4B．－2C．4D．2或－2解析由题可知，p2－(－2)＝4，∴p＝4.∴抛物线的方程为x2＝－8y.将(m，－2)代入可得m2＝16，∴m＝±4.故选A.答案A8．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析依题意可设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则A1，b2a，B1，－b2a，又|AB|＝b2a－－b2a＝2b2a＝3，∴2b2＝3a.又a2－b2＝c2＝1，∴a＝2，b＝3.故C的方程为x24＋y23＝1.答案C9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)解析直线x＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．答案B10．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.32D.34解析由椭圆的定义可知d1＋d2＝2a，又由d1,2c，d2成等差数列，∴4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝ca＝12.答案A11．已知F是抛物线y＝14x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝y－12B．x2＝2y－116C．x2＝2y－1D．x2＝2y－2解析由y＝14x2⇒x2＝4y，焦点F(0,1)，设PF中点Q(x，y)、P(x0，y0)，则2x＝0＋x0，2y＝1＋y0，4y0＝x20，∴x2＝2y－1.答案C12．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(1,3]D．(1,2]解析|PF2|2|PF1|＝|PF1|＋2a2|PF1|＝|PF1|＋4a2|PF1|＋4a≥8a，当|PF1|＝4a2|PF1|，即|PF1|＝2a时取等号．又|PF1|≥c－a，∴2a≥c－a.∴c≤3a，即e≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若双曲线x24－y2b2＝1(b0)的渐近线方程为y＝±12x，则b等于________．解析由题意知b2＝12，解得b＝1.答案114．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为32，则椭圆的标准方程为________．解析若焦点在x轴上，则a＝4，由e＝32，可得c＝23，∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，椭圆方程为x216＋y24＝1；若焦点在y轴上，则b＝4，由e＝32，可得ca＝32，∴c2＝34a2.又a2－c2＝b2，∴14a2＝16，a2＝64.∴椭圆方程为x216＋y264＝1.答案x216＋y264＝1，或x216＋y24＝115．设F1和F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．解析由题设知||PF1|－|PF2||＝4，①|PF1|2＋|PF2|2＝20，②)②－①2得|PF1|·|PF2|＝2.∴△F1PF2的面积S＝12|PF1|·|PF2|＝1.答案116．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析如图，设双曲线一个焦点为F，则△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.∴c＝2a，∴e＝ca＝2.答案2三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.解设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝y1－y2x1－x2＝6y1＋y2＝3.∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由y2＝6x，y＝3x－11，得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.∴|P1P2|＝1＋1922－4×－22＝22303.18．(12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的标准方程．解由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆的方程为y2a2＋x2a2－25＝1(a5)，双曲线方程为y2b2－x225－b2＝1.∵点P(3,4)在椭圆上，∴16a2＋9a2－25＝1.解得a2＝40或a2＝10(舍去)．∴椭圆的标准方程为y240＋x215＝1.又过点P(3,4)的双曲线的渐近线方程为y＝b25－b2x，即4＝b25－b2×3，∴b2＝16.∴双曲线的标准方程为y216－x29＝1.19．(12分)已知椭圆方程为x29＋y24＝1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由．解设存在点P(x，y)满足题设条件，则|AP|2＝(x－a)2＋y2.又∵x29＋y24＝1，∴y2＝4(1－x29)．∴|AP|2＝(x－a)2＋4(1－x29)＝59(x－95a)2＋4－45a2.∵|x|≤3，当|95a|≤3，又0a3即0＜a≤53时，|AP|2的最小值为4－45a2.依题意，得4－45a2＝1，∴a＝±152∉0，53，当95a＞3，即53＜a＜3.此时x＝3，|AP|2取最小值(3－a)2.依题意，得(3－a)2＝1，∴a＝2.此时P点的坐标是(3,0)．故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0)．20．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.(1)若直线l的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A，B，F三点的圆恰好与直线l：x＋3y＋3＝0相切，求椭圆C的方程．解(1)如图，设直线l与圆O相切于E点，椭圆C的右顶点为D，则由题意易知，△OED为直角三角形，且|OE|＝b，|OD|＝a，∠ODE＝π3，∴|ED|＝|OD|2－|OE|2＝c(c为椭圆C的半焦距)．∴椭圆C的离心率e＝ca＝cosπ3＝12.(2)由(1)知，ca＝12，∴可设a＝2m(m0)，则c＝m，b＝3m，∴椭圆C的方程为x24m2＋y23m2＝1.∴A(0，3m)，∴|AF|＝2m.直线AF的斜率kAF＝3，∴∠AFB＝60°.在Rt△AFB中，|FB|＝|AF|cos∠AFB＝4m，∴B(3m,0)，设斜边FB的中点为Q，则Q(m,0)，∵△AFB为直角三角形，∴过A，B，F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q，且半径为2m，∵圆Q与直线l：x＋3y＋3＝0相切，∴|m＋3|1＋3＝2m.∵m是大于0的常数，∴m＝1.故所求的椭圆C的方程为x24＋y23＝1.21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝23，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．解(1)由e＝23＝ca，得a2＝32c2.又a2－b2＝c2，∴a2＝3b2.故椭圆的方程为x2＋3y2＝3b2.又椭圆上的点P(x，y)到点Q(0,2)的距离d＝x－02＋y－22＝3b2－3y2＋y－22＝3b2＋6－2y＋12∴当y＝－1时，有3b2＋6＝3，解得b＝1.∴椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)S△AOB＝12|OA|·|OB|sin∠AOB＝12sin∠AOB，当∠AOB＝90°，S△AOB取最大值12，此时点O到直线l距离d＝1m2＋n2＝22，∴m2＋n2＝2.又∵m23＋n2＝1，解得：m2＝32，n2＝12.∴点M的坐标为62，22或－62，22或62，－22或－62，－22.故存在点M，使△AOB的面积为12.22．(12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆