第二章圆锥曲线与方程综合素质检测(人教A版选修1-1)

第二章圆锥曲线与方程综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M与点F(3,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为()A．y2＝－12xB．y2＝6xC．y2＝12xD．y2＝－6x[答案]C[解析]由抛物线的定义知，点M的轨迹是F为焦点，直线x＋3＝0为准线的抛物线，其方程为y2＝12x.2．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(15，0)，直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为()A.x216＋y2＝1B．x2＋y216＝1C.x220＋y25＝1D.x25＋y220＝1[答案]C[解析]由椭圆过点(2,2)，排除A、B、D，选C.3．(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A.2B.3C．2D．23[答案]B[解析]∵抛物线y2＝43x的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c＝3，又ba＝2，结合a2－b2＝c2，得a＝1，∴e＝3，故选B.4．(2014·宁夏银川一中二模)从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积()A．5B．10C．20D.15[答案]B[解析]设P(x0，y0)，则由抛物线定义知x0＋1＝5，∴x0＝4故y0＝4，所以S△MPF＝12×5×4＝10.5．已知ab0，e1，e2分别为圆锥曲线x2a2＋y2b2＝1和x2a2－y2b2＝1的离心率，则lge1＋lge2()A．大于0且小于1B．大于1C．小于0D．等于1[答案]C[解析]∵lge1＋lge2＝lga2－b2a＋lga2＋b2a＝lga4－b4a2lga2a2＝lg1＝0，∴lge1＋lge20.6．(2014·江西文，9)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212－y24＝1[答案]A[解析]如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为y＝bax，由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A，∴|FA|＝|FO|＝r＝4.∵AB⊥x轴，A为AB与渐近线y＝bax的交点，∴可求得A点坐标为A(a，b)．∴在Rt△ABO中，|OA|2＝OB2＋AB2＝a2＋b2＝c＝|OF|＝4，∴△OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝23，∴双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.7．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝254xB．y2＝454xC．x2＝－452yD．x2＝－454y[答案]C[解析]如果设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p×40,2p＝452，所以抛物线的方程应为y2＝452x，所给选项中没有y2＝452x，但方程x2＝－452y中的“2p”值为452，所以选项C符合题意．8．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条[答案]B[解析]过P与x轴平行的直线y＝1与抛物线只有一个交点；过P与抛物线相切的直线x＝0，y＝14x＋1与抛物线只有一个交点．9．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的离心率等于()A．2B．3C.6D．9[答案]B[解析]由题意双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝bax，代入抛物线方程y＝x2＋2整理得x2－bax＋2＝0，因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－ba)2－8＝0，即(ba)2＝8，∴此双曲线的离心率e＝ca＝1＋ba2＝1＋8＝3.故选B.10．F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[分析]此题若用坐标法求解运算相当繁琐，而且一时难以理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．[答案]A[解析]延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，如图所示．则△APF1是等腰三角形，∴|PF1|＝|AP|，从而|AF2|＝|AP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.∵O是F1F2的中点，Q是AF1的中点，∴|OQ|＝12|AF2|＝a.∴Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆．故选A.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11．若抛物线y2＝mx与椭圆x29＋y25＝1有一个共同的焦点，则m＝________.[答案]±8[解析]椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m＝±8.12．已知双曲线x216－y29＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF1的周长为________．[答案]26[解析]由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a＝8，|BF1|－|BF2|＝8，∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝16.又∵|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝5，∴|AF1|＋|BF1|＝16＋5＝21.∴△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝21＋5＝26.13．椭圆mx2＋ny2＝1与直线l：x＋y＝1交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线斜率为22，则mn＝________.[答案]22[解析]设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴mx21＋ny21＝1①mx22＋ny22＝1②又y2－y1x2－x1＝－1，∴①－②得：m－n·y1＋y2x1＋x2＝0，∵y1＋y2x1＋x2＝y1＋y22－0x1＋x22－0＝22，∴m＝22n，∴mn＝22.14．(2014·哈三中二模)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线y2＝8x的准线的一个交点的纵坐标为－1，则双曲线的离心率为________．[答案]52[解析]抛物线y2＝8x的准线方程x＝－2，∴交点坐标为(－2，－1)，∴双曲线的渐近线方程y＝12x，即ba＝12，∴e＝1＋b2a2＝52.15．(2014·唐山市一模)过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝________.[答案]163[解析]设AB所在的直线y＝k(x－1)，联立y＝kx－1y2＝4x消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1x2＝1，设A(x1，y2)，B(x2，y2)，∵A到准线的距离为4，∴x1＋1＝4，∴x1＝3，∴x2＝13，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝3＋13＋2＝163.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±x2为渐近线的双曲线．[答案](1)x212－y28＝1(2)x28－y22＝1[解析](1)∵双曲线x216－y24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x2a2－y220－a2＝1(20－a20)又点(32，2)在双曲线上，∴18a2－420－a2＝1，解得a2＝12或30(舍去)，∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.(2)椭圆3x2＋13y2＝39可化为x213＋y23＝1，其焦点坐标为(±10，0)，∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)∵双曲线的渐近线为y＝±12x，∴ba＝12，∴b2a2＝c2－a2a2＝10－a2a2＝14，∴a2＝8，b2＝2，即所求的双曲线方程为：x28－y22＝1.17．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18m，拱顶离水面的距离为8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若矩形的长|CD|＝9m，那么矩形的高|DE|不能超过多少m才能使船通过拱桥？[答案]6m[解析]如图，以O点为原点，过O且平行于AB的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．则B(9，－8)，设抛物线方程为x2＝－2py(y0)．∵点B在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，∴p＝8116，∴抛物线的方程为x2＝－818y，∴当x＝92时，y＝－2，∴|DE|＝6，∴当矩形的高|DE|不超过6m时，才能使船通过拱桥．18．已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)、B(2,0)，|AD→|＝2，AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AC→，求点E的轨迹方程．[答案]x2＋y2＝1(y≠0)[解析]如图设点E的坐标为(x，y)，∵AE→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)，∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E为BD的中点，连结OE，又O为AB的中点，∴OE＝12AD＝1.即动点E到定点O的距离为定值1，由圆的定义知，点E的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．[点评]平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E到定点O的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想．19．(2014·云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|.(2)若直线l的斜率为1，求b的值．[答案](1)43(2)22[解析](1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43.(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝1－b2设A(x1，y1)，B(x1，y1)，则A、B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2＋y2b2＝1，消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|即43＝2|x2－x1|.则89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b41＋b2，解得b＝22.20．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e＝233，过A(a,0)，B(0，－b)的直线到原点的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝kx＋5(k≠0)交双曲线于不同的点C，D，且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值．[答案](1)x23－y2＝1(2)±7[解析](1)双曲线的离心率e＝ca＝233.①过A，B的直线为xa－yb＝1，即bx－ay－ab＝0.∵原点到直线AB的距离为32，∴|－ab|a2＋b2＝abc＝32，②由①②，得b＝1.∴c2a2＝a2＋b2a2＝1＋1a2＝43.∴a2＝3，∴双曲线的方程为x23－y2＝1.(2)由x23－y2＝1y＝kx＋5，得(1－3k2)x2－30kx－78＝0.∴x1＋x2＝30k1－3k2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝15k1－3k2，y0＝kx0＋5＝51－3k2.∴MB的斜率kMB＝y0＋1x0＝－1k.∴