第二章圆锥曲线方程综合素质检测(人教B版选修2-1)

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第二章圆锥曲线方程综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．双曲线x2m－y2n＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A.316B.38C.163D.83[答案]A[解析]依题意，e＝m＋nm＝2，c＝1，即：m＋n＝1，1m＝2，解得m＝14，n＝34，mn＝316，选A.2．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是()A．(1,0)B．(116，0)C．(－1,0)D．(0，－116)[答案]C[解析]x2＝4y关于x＋y＝0，对称的曲线为y2＝－4x，其焦点为(－1,0)．3．过点C(4,0)的直线与双曲线x24－y212＝1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是()A．|k|≥1B．|k|3C．|k|≤3D．|k|1[答案]B[解析]如图所示，l1平行于y＝3x，l2平行于y＝－3x，由图可看出，当过C由l1位置逆时针方向转到l2位置之间的直线与双曲线x24－y212＝1的右支都有两个交点，此时k3或k－3.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com4．椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P的椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()A．±34B．±32C．±22D．±34[答案]A[解析]由条件可得F1(－3,0)，PF1的中点在y轴上，∴P点坐标(3，y0)．又P在x212＋y23＝1的椭圆上得y0＝±32.∴M在坐标0，±34，故选A.5．已知|AB→|＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动；O为原点，若OP→＝13OA→＋23OB→，则点P的轨迹方程是()A.x24＋y2＝1B．x2＋y24＝1C.x29＋y2＝1D．x2＋y29＝1[答案]A[解析]设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由题知(x，y)＝13(0，y0)＋23(x0,0)，即x＝23x0，y＝13y0，∴x0＝32x，y0＝3y，又∵|AB→|＝3，∴x20＋y20＝9，∴x24＋y2＝1即为点P的轨迹方程．6．如图，在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(ab0)的曲线大致是()[答案]D[解析]解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程：x21a2＋y21b2＝1，y2金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com＝－abx.因为ab0，因此1b1a0，所以由椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，则D选项正确．解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图形关于x轴对称；排除B、C，又椭圆的焦点在y轴上，故选D.7．(2010·天津理，5)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上．则双曲线的方程为()A.x236－y2108＝1B.x29－y227＝1C.x2108－y236＝1D.x227－y29＝1[答案]B[解析]由题易知ba＝3①且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)，则由a2＋b2＝36②由①②知：a＝3，b＝33，∴双曲线方程为x29－y227＝1，故选B.8．F1，F2是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任一点，过任何一焦点向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为P，则P点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]A[解析]如图所示：∠BAF1为外角，AP为外角角平分线l所在直线设长轴长为2a(a0)，∠BAF1＝∠CAF2，∴AP平分∠CAF2，延长F2P交F1A于C，∴C、F2关于P对称，∴AC＝AF2.设F2为(c,0)，F1为(－c,0)，P为(x，y)，∴c为(2x－c,2y)∵AC＝AF2，AF2＋AF1＝2a，∴F1C＝2a，即4x2＋4y2＝4a2，∴轨迹为圆，选A.9．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF→＝FB→，BA→·BC→＝48，则抛物线方程为()金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.comA．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝6xD．y2＝42x[答案]B[解析]如图，∵AF→＝FB→，|FD→|＝p，∴|AC|＝2p，∴|AF|＝|FB|＝2p，又BA→·BC→＝48，∴|BC|2＝48，∴在Rt△ABC中，(4p)2－(2p)2＝48，∴p＝2，∴y2＝4x.10．若椭圆x2a2＋y2b2＝(ab0)和圆x2＋y2＝(b2＋c)2(c为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是()A．(55，35)B．(25，55)C．(25，35)D．(0，55)[答案]A[解析]要保证椭圆与圆的4个交点，只要保证圆的半径bb2＋ca即可．bb2＋cb2＋ca⇒2bb＋2cb＋2c2a⇒2cb，①2(a－c)b.②由①得4c2b2＝a2－c2,5c2a2，c2a215，e215，e55，由②得4(a2＋c2－2ac)b2＝a2－c2，得3a2－8ac＋5c20，两边同除以a2，得5e2－8e＋30，(e－1)(5e－3)0，e1(舍去)或e35，则55e35.11．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于点P1，P2，线段P1P2的中点设为P，金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于()A．2B．－2C.12D．－12[答案]D[解析]设直线l的方程y＝k1(x＋2)将y＝k1(x＋2)代入x2＋2y2＝2中得(1＋2k21)x2＋8k21x＋8k21－2＝0.设P(x0，y0)则x0＝－4k211＋2k21，y0＝k1(x0＋2)＝2k11＋2k21∴k2＝y0－0x0－0＝－12k1∴k1k2＝－12k1·k1＝－12.故选D.12．B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地运转货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是()A．(7＋1)a万元B．(27－2)a万元C．27a万元D．(7－1)a万元[答案]B[解析]设总费用为y万元，则y＝a·(MB＋MC)∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，∴曲线PG是双曲线的一支，B为焦点，且a＝1，c＝2.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com由双曲线定义，得MA－MB＝2a，即MB＝MA－2，∴y＝a·(MA＋MC－2)≥a·(AC－2)．以直线AB为x轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－2,0)，C(3，3)．∴AC＝(3＋2)2＋(3)2＝27，故y≥(27－2)a(万元)．二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为3π4的直线，与抛物线交于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．[答案]22[解析]设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F为抛物线焦点，由y＝－(x－1)，y2＝4x，得y2＋4y－4＝0，|y1－y2|＝42＋42＝42，S△POQ＝12|OF|·|y1－y2|＝22.14．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________．[答案]2x－y－15＝0[解析]设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21－4y21＝4，x22－4y22＝4，两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵AB的中点为P(8,1)，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴y1－y2x1－x2＝2，∴直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，即2x－y－15＝0.15．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程是________．[答案](x－10)2＋y2＝36(y≠0)[解析]设A(x，y)，则D(x2，y2)，由|CD|＝3和两点间距离公式求得方程，同时结合图形，除去A，C，D三点共线的情况．16．下列四个关于圆锥曲线的命题：①设A，B为两个定点，k为非零常数，若|PA→|－|PB→|＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定点C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若OP→＝12(OA→＋OB→)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x225－y29＝1与椭圆x235＋y2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第7页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com[答案]③④三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(32，6)，求抛物线方程和双曲线方程．[解析]依题意，设抛物线方程为y2＝2px，(p0)，∵点(32，6)在抛物线上，∴6＝2p×32，∴p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又点(32，6)在双曲线上，∴94a2－6b2＝1，由a2＋b2＝1，94a2－6b2＝1，解得：a2＝14，b2＝34.∴所求双曲线方程为4x2－43y2＝1.18．(本小题满分12分)已知定点A(a,0)，其中0a3，它到椭圆x29＋y24＝1上点的距离的最小值为1，求a的值．[解析]设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，则|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋19(36－4x2)＝59(x－95a)2＋4－45a2，当0a≤53时，有095a≤3.∴当x＝95a时，|PA|2min＝4－45a2＝1，得a＝15253(舍)，当53a3时，有395a275，当且仅当x＝3时，|PA|2min＝a2－6a＋9＝1，故a＝2或a＝4(舍)，综上得a＝2.19．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1有公共焦点F1、F2，它们的离心率金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第8页共11页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com之和为245，(1)求双曲线的标准方程；(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2的值．[解析](1)在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，∴c＝a2－b2＝4，焦点在y轴上，离心率为e＝45.由题意得：所求双曲线的半焦距c＝4，离心率e′＝245－45＝2，又∵e′＝ca′＝4a′＝2，∴双曲线的实半轴为a′＝2，则b′2＝c2－a′2＝16－4＝12，∴所求双曲线的标准方程为y24－x212＝1.(2)由双曲线、椭圆的对称性可知，不论点P在哪一个象限，cos∠F1PF2的值是相同的，设点P是双曲线与椭圆在第一