第二章平面向量》同步练习(新人教A必修4)

一、选择题1．如图所示，ABCD中，AB－BC＋CD等于()．A．BCB．DAC．CBD．BD2．在矩形ABCD中，|AB|＝3，|BC|＝1，则向量(AB＋AD＋AC)的长等于()．A．2B．23C．3D．43．如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF－DB等于()．A．FDB．FCC．FED．BE4．下列说法中正确的是()．A．向量a与非零向量b共线，向量b与向量c共线，则向量a与c共线B．任意两个模长相等的平行向量一定相等C．向量a与b不共线，则a与b所在直线的夹角为锐角D．共线的两个非零向量不平行5．下面有四个命题，其中真命题的个数为()．①向量的模是一个正实数．②两个向量平行是两个向量相等的必要条件．③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等．④模相等的平行向量一定相等．(第2题)A．0B．1C．2D．36．下列说法中，错误的是()．A．零向量是没有方向的B．零向量的长度为0C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的7．在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是()．A．BG＝BE32B．DG＝AG21C．CG＝－FG2D．DA31＋FC32＝BC218．下列向量组中能构成基底的是()．[来源:学科网]A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(-1，2)，e2＝(5，7)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，-3)，e2＝(21，-43)9．已知a＝(-1，3)，b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于()．A．3B．－2C．31D．－3110．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是()．A．①②B．②③C．③④D．②④二、填空题：11．若非零向量，满足|＋|＝|－|，则与所成角的大小为．12．在ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝_______．(用a，b表示)13．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，那么a·b＝．[来(第12题)源:学科网]14．设m，n是两个单位向量，向量a＝m－2n，且a＝(2，1)，则m，n的夹角为．15．已知AB＝(6，1)．BC＝(x，y)．CD＝(-2，-3)．则向量DA的坐标为______．三、解答题：16．如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知AB＝a，AD＝b，试用a，b表示BC和MN．17．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证△ABC是直角三角形．18．己知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，(1)ka＋b与a－3b垂直？(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？19．已知|m|＝4，|n|＝3，m与n的夹角为60°，a＝4m－n，b＝m＋2n，c＝2m－3n．求：(1)a2＋b2＋c2．(2)a·b＋2b·c－3c·a．第二章平面向量参考答案一、选择题1．答案：C解析：从图上可看出AD＝BC，则AB－BC＝AB－AD＝(第16题)(第1题)DB，而DB＋CD＝CD－BD＝CB．2．D解析：如图∵AB＋AD＋AC＝AB＋BC＋AC＝AC＋AC[来源:学科网]＝2AC．3．D解析：向量可以自由平移是本题的解题关键，平移的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知．∴AF－DB＝AF－AD＝DF＝BE．4．A解析：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的．模长相等的平行向量可能方向相反，故B不正确．向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，故C不对．而选项D中向量共线属于向量平行．5．B解析：正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素入手区分其他有关概念．①向量的模应是非负实数．②是对的③两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此，这两个向量不一定相等．④模相等且方向相同的向量才相等．6．A解析：零向量是规定了模长为0的向量，其方向是任意的，它和任一向量共线，因此，0绝不是没有方向.(第3题)(第2题)(第7题)7．B解析：如图，G是重心，DG＝GA21，所以B错．DA31＋FC32＝DG＋GC＝DC＝BC21，所以不能选D．8．B[来源:学|科|网]解析：利用e1∥e2x1y2－x2y1＝0，可得只有B中e1，e2不平行，故应选B．9．C解析：由a∥b，得3x＝1，∴x＝31．10．D解析：①平面向量的数量积不满足结合律．故①假；②由向量的减法运算可知|a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［(b·c)·a－(c·a)·b］·c＝(b·c)·a·c－(c·a)·b·c＝0，所以垂直．故③假；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9·a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立．故④真．二、填空题11．答案：90°．解析：由|＋|＝|－|，可画出几何图形，如图，|－|表示的是线段AB的长度，|＋|表示线段OC的长度，由｜AB｜＝｜OC｜，∴平行四边形OACB为矩形，故向量与所成的角为90°．12．答案：41a＋41b．解：如图，由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋21b，所以MN＝43(a＋b)－(a＋21b)＝－41a＋41b．(第11题)(第12题)13．答案：－63．解析：解方程组得)()(12－5＝12－5＝43－＝4＋3＝－，，jibjia∴a·b=(－3)×5＋4×(－12)＝－63．14．答案：90°．解析：由a＝(2，1)，得|a|＝5，∴a2＝5，于是(m－2n)2＝5m2＋4n2－4m·n＝5．∴m·n＝0．∴m，n的夹角为90°．15．答案：(x＋4，y－2)．解析：CDBCABAD＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)．三、解答题16．答案：BC＝b－21a，MN=41a－b解：如图，连结CN，则ANDC．∴四边形ANCD是平行四边形．CN＝－AD=－b，又∵CN＋NB＋BC＝0，∴BC＝－CN－NB＝b－21a．∴MN＝CN－CM＝CN＋21AN＝－b＋41a＝41a－b．17．解析：∵AB＝(2－1，3－2)＝(1，1)，AC＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)．∴AB·AC＝1×(－3)＋1×3＝0．∴AB⊥AC．∴△ABC是直角三角形．18．答案：(1)当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直；(第16题)(2)当k＝－31时，ka＋b与a－3b平行，反向．解析：(1)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3，2k＋2)·(10，－4)＝0，得10(k－3)＋(2k＋2)(－4)＝0．[来源:学科网ZXXK]解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在实数，使ka＋b＝(a－3b)，由(k－3，2k＋2)＝(10，－4)，得4＝－2＋210＝3－kk解得31＝－31＝－k即当k＝－31时，ka＋b与a－3b平行，此时ka＋b＝－31a＋b，∵＝－31＜0，∴－31a＋b与a－3b反向．19．答案：(1)366，(2)－157．解析：∵｜m｜＝4，｜n｜＝3，m与n的夹角为60°，∴m·n＝|m||n|cos60°＝4×3×21＝6．(1)a2＋b2＋c2＝(4m－n)2＋(m＋2n)2＋(2m－3n)2＝16｜m｜2－8m·n＋｜n｜2＋｜m｜2＋4m·n＋4｜n｜2＋4｜m｜2－12m·n＋9｜n｜2＝21｜m｜2－16m·n＋14｜n｜2＝21×16－16×6＋14×9＝366．(2)a·b＋2b·c－3c·a＝(4m－n)·(m＋2n)＋2(m＋2n)·(2m－3n)－3(2m－3n)·(4m－n)＝－16｜m｜2＋51m·n－23｜n｜2＝－16×16＋51×6－23×9＝－157．另解：a·b＋2b·c－3c·a＝b·(a＋2c)－3c·a＝…＝－157．