第二章插值法与数值微分

1、第二章插值法与数值微分1.设yx,在100,121,144x三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立yx的二次插值多项式,并用此多项式计算115的近似值,且给出误差估计.用其中的任意两点,构造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,计算115的近似值,并分析其结果不同的原因.解:已知012012100,121,144;10,11,12xxxyyy,建立二次Lagrange插值函数可得:2121144100144101110012110014412110012114412110012144121144100xxxxLxxx所以211511510.7228L.误差2012012,,,,3!fRxxxxxxxxxx,所以20.00065551150.001631R利用前两个节点建立线性插值函数可得:11211001011100121121100xxLx所以111511510.7143L.利用。

2、后两个节点建立线性插值可得:11441211112121144144121xxLx所以111511510.7391L.利用前后两个节点建立线性插值可得:21441001012100144144100xxLx所以111511510.6818L.与115的真实值比较,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好.2.利用(2.9)式证明0121001max,8xxxxxRxfxxxx证明:由(2.9)式0101,2!fRxxxxxxx当01xxx时,01maxxxxffx,01201101max4xxxxxxxxx所以0121001max,8xxxxxRxfxxxx3.若0,1,...,jxn为互异节点,且有011011............jjnj。

3、jjjjjjnxxxxxxxxlxxxxxxxxx证明0,0,1,...,nkkjjjxlxxkn证明:由于1;0.jiijijlxij且0nkjjjxlx和kx都为k次多项式,而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同0,1,...,kn,所以马上有0,0,1,...,nkkjjjxlxxkn.4.设给出sinx在,上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于510,问函数表的步长最大能取多少?解:记插值函数为p(x),则11sinsin3!iiixpxxxxxxx所以11cosmaxsin3!iiixxpxxxxxxcos1;令11iiigxxxxxxx,设1ixxth,得3112,0,2igxthhtttt又12,0,2ttttt的最大值为310.38493,所以有350.3849m。

4、axsin106xxph所以0.0538h.5.用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点3,1,0,2,3,2,6,10的三次插值公式.解:Lagrange插值函数:1230233010102031012130130122320212330313231033101622731033.2781/5xxxxxxxxxxxxLxyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx牛顿插值:首先计算差商31021321.3330.388961040.88890.14203130.388931.142033.Nxxxxxxx也可以利用等距节点构造,首先计算差分310233247610121623可得前插公式307231311。

5、2;26Nxthtttttt和后插公式3316231012112.26Nxthtttttt6.确定一次数不高于4的多项式x,使00,00,111,21.解:利用重节点计算差商0000011111110121011/21/4则可构造Hermite插值函数满足题设条件:44320001001001100114139.424Hxxxxxxxxxxxxxx7.寻找过1n个点01,,...,nxxx的21n次多项式21nHx,满足条件:21002111212100211121,,...,,,,..,.nnnnnnnnnnHxfxHxfxHxfxHxfxHxfxHxfx解:和Lagrange插值函数的构造类似,可将插值函数写成,21,0nninniiiiHxhxyhxy其中,基函数满足条件(1。

6、),,,21ninihxhxPn;(2),,,,,0;,0nininijijnijjijjhxhxhxhx则可由已知条件,可得2,,,12niniiinihxlxxxlx;2,,niinihxxxlx.所以可得2221,,,012nnniiiniiiniiiHxlxxxlxyxxlxy8.过0,1两点构造一个三次Hermite插值多项式,满足条件:1101,0,12,122ffff解:计算重节点的差商01011/21211/2121/2-1/21马上可得33211100010012231122Hxxxxxxxxxx9.过给定数组x757677787980y2.7682.8332.9032.9793.0623.153(1)作一分段线性插值函数.(2)取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.(3)用两种插值函数分别计算75.5,78.3xx的函数值。

7、.解:(1)做分段线性插值函数可得:50123452.7682.8332.9032.9793.0623.153Ixlxlxlxlxlxlx其中,07675,76;075,76.xxlxx17575,767776,77;075,77.xxlxxxx27676,777877,78;076,78.xxlxxxx37777,787978,79;077,79.xxlxxxx47878,798079,80;078,80.xxlxxxx58079,80;079,80.xxlxx(2)把已知节点值带入M关系式可得:0121232343451120.015221120.018221120.014221120.01622MMMMMMMMMMMM由边界条件可得050MM,所以上面方程组变为可求解方程组12123。

8、23434120.01521120.018221120.01422120.0162MMMMMMMMMM解得12340.0058,0.0067,0.0036,0.0071MMMM.所以可得在每个区间上的三次样条函数的表达式:33111116666jjjjjjjjjjMMMMsxxxxxyxxyxx(3)当75.5x时,50175.52.76875.52.83375.52.8005Ill;30.00580.005875.575.5762.7687675.52.83375.5752.79966s当78.3x时,53475.52.97978.33.06278.33.0039Ill;330.00360.007178.37978.378.378660.00360.00712.9797978.33.06278.3783.0034.66s。

9、10.若给出sin,cos,tanxxx的函数表:xsinxcosxtanx1.5671.5681.5691.5700.99999280.99999610.99999840.99999970.00379630.00279630.00179630.0007963263.41125357.61106556.690981255.76559用表上的数据和任一插值公式求:(1)用tanx表格直接计算tan1.5695.(2)用sin1.5695和cos1.5695来计算tan1.5695.并讨论这两个结果中误差变化的原因.解:利用Lagrange插值直接用tan表计算得tan1.5695819.0342874999274;利用Lagrange插值计算sin得sin1.56950.99999917500000;利用Lagrange插值计算cos得cos1.56950.00129630000000;最后利用sin/cos计算tan得tan1.5695771.4257309264500.出现小除数,误差被放大.11.求三次样条函数sx,已知ix0.250.300.390.450.。

10、53iy0.50000.54770.62450.67080.7280和边界条件0.251.0000,0.530.6868ss解:把表中数据带入M关系式可得0121232345924.314314143223.2643553422.428677MMMMMMMMM由边界条件还可得到两个方程:013425.520022.1150MMMM联立两个方程组可解得:012342.0284,1.4632,1.0319,0.8062,0.6544MMMMM带入M表达式便可得所求三次样条函数.12.称n阶方阵ijAa具有严格对角优势,若1,1,2,...,nijijjjiaain(1)试证明:具有严格对角优势的方阵必可逆.(2)证明:方程组(2.62)解存在唯一.证明:(1)设矩阵A按行严格对角占优,如果A奇异,则存在非零向量x使得Ax=0,写成分量形式为10,1,2,...,nijjjaxin令指标0i使得00ixx,则0000000000001111nnnniiiijjijjij。