第二章数列单元测试3(人教A版必修5)

第二章数列单元测试3一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．(2010～2011·河南汤阴县一中高二期中)等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a20a10＝()A.23或32B.23C.32D.13或－12[答案]A[解析]在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6，又a4＋a14＝5，∴a4＝2a14＝3或a4＝3a14＝2，又a14＝a4·q10，∴q10＝23或32，∴a20a10＝q10＝23或32.2．给出下列结论：①数列{an}前n项和Sn＝n2－2n＋1，则{an}是等差数列．②数列{an}前n项和Sn＝7n2－8n，则a100＝1385.③数列{an}前n项和Sn＝2n－1，则{an}是等比数列．④数列{an}前n项和Sn＝1，则an＝1.其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]本题考查数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系，an＝Snn＝1Sn－Sn－1n≥2；①中Sn＝an2＋bn＋c，c≠0时，{an}是从第二项开始的等差数列，但{an}不是等差数列，故①不对；②中a100＝S100－S99＝1385正确；③中，Sn＝pan－p(p≠0，a≠0)，则{an}是等比数列，其公比为2首项为1，an＝2n－1故③正确；④中，Sn＝1，∴a1＝1，n≥2时an＝0，∴④错．3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且满足Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差数列，则a3等于()A.12B．－12C.14D．－14[答案]C[解析]∵Sn、Sn＋2、Sn＋1成等差数列，∴Sn＋2－Sn＝Sn＋1－Sn＋2.∴an＋2＋an＋1＝－an＋2，∴an＋2an＋1＝－12.又a1＝1，∴a3＝14.4．(2009·安徽)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A．21B．20C．19D．18[答案]B[解析]∵a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝－2，∴a1＝39.∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋41，∴Sn＝na1＋an2＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.故当n＝20时，Sn取最大值100.5．已知－1，a1，a2,8成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，那么a1a2b2的值为()A．－5B．5C．－52D.52[答案]A[解析]∵－1，a1，a2,8成等差数列，设公差d，∴8－(－1)＝3d，∴d＝3，∴a1＝2，a2＝5，∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，b22＝4，又b2＝－1·q20，∴b2＝－2，∴a1a2b2＝－5.6．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q≠1，如果a1，a2，a3依次是等差数列的第1、2、5项，则q为()A．2B．3C．－3D．3或－3[答案]B[解析]设等差数列为{bn}，则b1＝a1＝1，b2＝1＋d，b5＝1＋4d，由题设(1＋d)2＝1×(1＋4d)，∴d＝2或d＝0(与q≠1矛盾舍去)，∴b2＝3，公比q＝a2a1＝b2b1＝3.7．等差数列{an}中，a1＝－8，它的前16项的平均值是7，若从中抽取一项，余下的15项的平均值为7.2，则抽取的是()A．第7项B．第8项C．第15项D．第16项[答案]A[解析]S16＝a1＋a16×162＝7×16,7×16－x＝7.2×15，∴x＝4，又a1＝－8，∴a16＝22，d＝115(a16－a1)＝2，∴an＝－8＋(n－1)·2＝4，∴n＝7.8．(2011·山东实验中学期末)已知数列{an}为等差数列，若a11a10－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的最大值n为()A．11B．19C．20D．21[答案]B[解析]∵Sn有最大值，∴a10，d0，∵a11a10－1，∴a110，a100，∴a10＋a110，∴S20＝20a1＋a202＝10(a10＋a11)0，又S19＝19a1＋a192＝19a100，故选B.9．等差数列{an}中，an－4＝30，前9项的和S9＝18，前n项的和Sn＝240，则自然数n的值是()A．15B．16C．17D．18[答案]A[解析]前9项和S9＝9a5＝18，∴a5＝2，前n项和Sn＝na1＋an2＝na5＋an－42＝n2＋302＝16n＝240，∴n＝15.10．(2011·北京朝阳区期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于()A．4B．2C．1D．－2[答案]A[解析]S1＝2a1－2＝a1，∴a1＝2，S2＝2a2－2＝a1＋a2，∴a2＝4.11．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A．1.14aB．1.15aC．11×(1.15－1)aD．10(1.16－1)a[答案]C[解析]设从去年开始，每年产值构成数列为{an}，则a1＝a，an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)，从今年起到第5年是求该数列a2到a6的和，应为S6－a1＝a1.16－11.1－1－a＝11×(1.15－1)a.12．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2009＝()A．6B．－6C．3D．－3[答案]B[解析]由条件an＋2＝an＋1－an可得：an＋6＝an＋5－an＋4＝(an＋4－an＋3)－an＋4＝－an＋3＝－(an＋2－an＋1)＝－[(an＋1－an)－an＋1]＝an，于是可知数列{an}的周期为6，∴a2009＝a5，又a1＝3，a2＝6，∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6.二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案]255[解析]∵an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，∴n为奇数时，an＋2＝an，n为偶数时，an＋2－an＝2，即数列{an}的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．14．在等比数列{an}中，前n项和Sn＝3n＋a，则通项公式为__________．[答案]an＝2×3n－1[解析]an＝Sn－Sn－1＝(3n＋a)－(3n－1＋a)＝2×3n－1，∴a1＝2.又a1＝S1＝3＋a，∴3＋a＝2，∴a＝－1.15．有三个数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为__________．[答案]16,4,1[解析]设三个数为a，b，c，由题意可知a＋b＋c＝212b＝a＋c－9b2＝ac，解之得：b＝4，a＝1，c＝16或b＝4，a＝16，c＝1.16．等差数列{an}前n项和Sn，若S10＝S20，则S30＝__________.[答案]0[解析]∵S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，∴2a1＝－29d.∴S30＝30a1＋10×292d＝15×(－29d)＋15×29d＝0.[点评]既可以运用一般方法求解，也可以充分利用等比数列的性质求解，设数列{an}第一个10项的和为b1，第二个10项的和为b2，第三个10项的和为b3，则∵S10＝S20，∴b2＝0，由条件知b1，b2，b3成等差，∴2b2＝b1＋b3，∴b3＝－b1，∴S30＝b1＋b2＋b3＝0，请再练习下题：等差数列{an}中，a10，S9＝S22，该数列前n项和Sn取最小值时n＝__________.[答案]15或16[解析]解法一：∵S9＝S22，∴a10＋a11＋a12＋…＋a22＝0，∴a16＝0，∵a10，∴前16项或前15项的和最小．解法二：∵a10，S9＝S22，∴d0.故(n，Sn)是开口向上的抛物线上的点，对称轴为n＝9＋222＝15.5，∵n∈N*，∴n＝15或16时Sn最小．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2(n∈N*)，又bn＝|an|(n∈N*)，求{bn}的前n项和Tn.[分析]本题求数列{bn}的前n项和，应首先确定数列{bn}的特性，由题意可得{bn}是由一个首项为正值，而公差为负的一个等差数列，{an}的各项取绝对值后得到的一个新数列，因此求{bn}的前n项和可转化为求数列{an}的和的问题．[解析]由Sn＝10n－n2，可得an＝11－2n，故bn＝|11－2n|.显然n≤5时，bn＝an＝11－2n，Tn＝10n－n2.n≥6时，bn＝－an＝2n－11，Tn＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋a7＋…＋an)＝2S5－Sn＝50－10n＋n2故Tn＝10n－n2n≤5，50－10n＋n2n≥6.18．(本题满分12分)一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为，求公差d.[解析]设首项为a1，公差为d，则由题意：S奇＋S偶＝354，S奇S偶＝2732.∴S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d，∴d＝5.19．(本题满分12分)(2010～2011·湖南邵阳市高二期中)设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝b3，b2b4＝a3.(1)求{an}的前10项的和S10.(2)设数列{cn}满足cn＝b2n－1，求数列{ncn}的前n项和．[解析](1)∵a2＋a4＝b3b2b4＝a3，∴2a1＋4d＝b1q2b12q4＝a1＋2d，∵a1＝b1＝1，∴2＋4d＝q2q4＝1＋2d，解之得d＝－38q2＝12或d＝－12q＝0(舍去)∴{an}的前n项和Sn＝n＋nn－12·－38＝19n－3n216，∴S10＝－558.(2)由(1)知bn＝b1qn－1＝(±12)n－1，cn＝b2n－1＝(±12)2n－2＝(14)n－1，令dn＝ncn，则{dn}的前n项和为Mn＝c1＋2c2＋3c3＋…＋ncn＝1＋2×14＋3×(14)2＋…＋n·(14)n－114Mn＝14＋2×(14)2＋3×(14)3＋…＋(n－1)·(14)n－1＋n·(14)n两式相减得：34Mn＝1＋[14＋(14)2＋…＋(14)n－1]－n·(14)n＝1＋14[1－14n－1]1－14－n·(14)n＝43－4＋3n12·(14)n－1，∴Mn＝169－4＋3n9·(14)n－1.20．(本题满分12分)已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列．(1)求{an}的首项和公比；(2)设Sn＝a12＋a22＋…＋an2，求Sn.[解析](1)由a3·a5·a7＝a53＝512，∴a5＝8.设公比为q，则a3＝8q2，a7＝8q2，由题设(8q2－1)＋(8q2－9)＝10解得q2＝2或12.∵{an}是递增数列，∴q2＝2，∴q＝2.∵a5＝a1q4＝4a1＝8，∴a1＝2.(2)an2＝[2×(2)n－1]2＝2n＋1，∴Sn＝42n－12－1＝2n＋2－4.21．(本题满分12分)某村镇2002年底的人口为1万人，人均住房面积为5m2，若该村镇每年人口的平均增长率为1%，欲使2012年