第二章第12课时知能演练轻松闯关

第二章第12课时知能演练轻松闯关1．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．eB．1C．－1D．－e解析：选C.函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝1x－1＝1－xx，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.2．(2011·高考陕西卷)设f(x)＝lgx，x＞0，x＋0a3t2dt，x≤0，若f(f(1))＝1，则a＝________.解析：由题意知f(1)＝lg1＝0，∴f(0)＝0＋a3－03＝1，∴a＝1.答案：13．(2011·高考北京卷)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0k－11，即1k2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.一、选择题1．(2011·高考湖南卷)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()A.12B．1C.32D.3解析：选D.根据定积分的定义，所围成的封闭图形的面积为－π3π3cosxdx＝sinxπ3－π3＝sinπ3－sin－π3＝3.2．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm解析：选B.设剪去的小正方形边长为xcm，则V＝x·(48－2x)2＝4x(24－x)2，∴V′(x)＝4(24－x)2＋8x(24－x)(－1)，令V′(x)＝0可以得x＝8.故选B.3．函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间[0，π2]上的值域为()A．[12，12eπ2]B．(12，12eπ2)C．[1，eπ2]D．(1，eπ2)解析：选A.f′(x)＝12ex(sinx＋cosx)＋12ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤π2时，f′(x)≥0，∴f(x)是[0，π2]上的增函数．∴f(x)的最大值为f(π2)＝12eπ2，f(x)的最小值为f(0)＝12.4．(2012·兰州调研)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0≤a1B．0a1C．－1a1D．0a12解析：选B.∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0a1.故选B.5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C.∵f(0)＝0，∴c＝0，∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴f＝－1f－＝－1，即3＋2a＋b＝－13－2a＋b＝－1.解得a＝0，b＝－4，∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.令f′(x)＝0，得x＝±233∈[－2,2]，∴极值点有两个．∵f(x)为奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0.∴①③正确，故选C.二、填空题6．函数f(x)＝12x2－lnx在[1，e]上的最大值为________．解析：∵f′(x)＝x－1x，∴当x∈(1，e)时，f′(x)＞0，∴f(x)在[1，e]上是增函数，故f(x)min＝f(1)＝12.答案：127．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，则x＝m2，由题设得m2∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]8．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．解析：当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x－1x3，设g(x)＝3x－1x3，x∈(0,1]，g′(x)＝3x3－x－x2x6＝－6x－12x4，g′(x)与g(x)随x变化情况如下表：x0，121212，1f′(x)＋0－f(x)↗4↘因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)三、解答题9．已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．若f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在－32，1上的最大值和最小值．解：∵f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3x＋13(x＋1)．由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞－13；由f′(x)＜0，得－1＜x＜－13.因此，函数f(x)在－32，1上的单调递增区间为－32，－1，－13，1，单调递减区间为－1，－13.∴f(x)在x＝－1处取得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x＝－13处取得极小值为f－13＝5027.又∵f－32＝138，f(1)＝6，且5027＞138，∴f(x)在－32，1上的最大值为f(1)＝6，最小值为f－32＝138.10．(2011·高考浙江卷)设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．解：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x0，所以f′(x)＝a2x－2x＋a＝－x－ax＋ax.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．(2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．只要f＝a－1≥e－1，f＝a2－e2＋ae≤e2，解得a＝e.11．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，∵1≤x≤20，x∈N*，∴P′(x)＝0时，x＝12，当1≤x12，且x∈N*时，P′(x)0，当12x≤20，且x∈N*时，P′(x)0，∴x＝12时，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.所以当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润相比，在减少．