第二章质点动力学习题解答

第2章质点动力学2-1.如附图所示，质量均为m的两木块A、B分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的支持面C上。若突然撤去支持面C，问在撤去支持面瞬间，木块A和B的加速度为多大？解：在撤去支持面之前，A受重力和弹簧压力平衡，Fmg弹，B受支持面压力向上为2mg，与重力和弹簧压力平衡，撤去支持面后，弹簧压力不变，则A：平衡，0Aa；B：不平衡，22BFmgag合。2-2判断下列说法是否正确？说明理由。（1）质点做圆周运动时收到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不是向心力。（2）质点做圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。解：（1）不正确。不指向圆心的力的分量可为向心力。（2）不正确。合外力为切向和法向的合成，而圆心力只是法向分量。2-3如附图所示，一根绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上求合力，写出cos0TG。另有沿绳子拉力T的方向求合力，写出cos0TG。显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的，为什么？解：cos0TG正确，因物体在竖直方向上受力平衡，物体速度竖直分量为0，只在水平面内运动。cos0TG不正确，因沿T方向，物体运动有分量，必须考虑其中的一部分提供向心力。应为：2cossinTGmr。2-4已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即2kfx，k为比例常数。设质点在xA时的速度为零，求4Ax处的速度的大小。解：由牛顿第二定律：Fma，dvFmdt。寻求v与x的关系，换元：2kdvdxdvmmvxdxdtdx，分离变量：2kdxvdvmx。20vxAkdxvdvmx，2111()2kvmxA当4Ax时，6kvmA。2-5如附图所示，一质量分布均匀的绳子，质量为M，长度为L，一端拴在转轴上，并以恒定角速度在水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力()Tr。解：22dfdmrrdr22222222211()()222LLLrrrMMLrTdfrdrrLrLL2－6如图所示,已知两物体A、B的质量均为m＝3.0kg物体A以加速度a＝1.0m/ｓ2运动,求物体B与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)习题2－6图解：如图所示，分别对物体和滑轮作受力分析。根据牛顿第二定律，运动方程为AATAamFgm（1）BBfTamFF1（2）021TTFF（3）因为mmmBA，TTFF，11TTFF，ABaa2，联立（1）（2）（3）式解得N2.72)4(AfammmgF2－7一质量为10kg的质点在力F的作用下沿x轴作直线运动,已知F＝120t＋40,式中F的单位为N,t的单位的ｓ．在t＝0时,质点位于x＝5.0m处,其速度v0＝6.0m/ｓ．求质点在任意时刻的速度和位置．解：质点作直线运动，根据牛顿第二定律，有tmtdd40120vBfFNFgmBAgmA1TFAaBaAaTF1TF1TFTF分离变量并积分tttd)412(d06.0vv得6462ttv由txddv，两边积分tttxtxd)646(d025.0得562223tttx2－8质量为m的跳水运动员,从10.0m高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv2,其中b为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy轴.(1)求运动员在水中的速率v与y的函数关系；(2)如b/m＝0.40m-1,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？(假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)习题2－8图解：（1）跳水运动员在入水前作自由落体运动，入水速度为gh20v，入水后根据牛顿第二定律，运动方程为maFFmg阻浮即tmbdd2vv因yytytddddddddvvvvymbdd2vvv分离变量并积分vv0vvdd0yymb得mbymbyghe2e0vv（2）由上式代入已知条件得m76.5ln0vvbmy2－9质量为45.0kg的物体,由地面以初速60.0m/ｓ竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr＝kv,且k＝0.03N/(m/ｓ)．(1)求物体发射到最大高度所需的时间．(2)最大高度为多少？解：（1）取竖直向上为y轴正方向，由牛顿第二定律，运动方程为tkmgddvmv分离变量，并积分000ddvvvkmgkmtt得s11.61ln0mgkmtkv（2）由ytkmgddddvmvvmv分离变量积分vvvd1d000maxkmgkmgkmyy得m1831ln00maxvkvmgkmgkmy2－10如图所示,在光滑水平面上,放一质量为m′的三棱柱A,它的斜面的倾角为，现把一质量为m的滑块B放在三棱柱的光滑斜面上．试求：(1)三棱柱相对于地面的加速度；(2)滑块相对于地面的加速度；(3)滑块与三棱柱之间的正压力。习题2－10图解：三棱柱A和滑块B受力如图，以三棱柱A为参考系（非惯性系），应用牛顿第二定律，有1NFmggmAa1NF2NFOBaxyAaBAaBAAmamamgcossin（1）0sincos1ANmaFmg（2）0sin1ANamF（3）11NNFF（4）以上四式联立解得2sincossinmmmgaA2sinsin)(mmgmmaBA21sincosmmmgmFN由加速度的矢量关系，得2222sinsin)2(sinmmmmmmgaB与竖直向下方向的夹角cotarctansincosarctanmmmaaaBAABA2－11跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kvF。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率Tv。解：由牛顿第二定律，运动方程为tkmgdd2vmv分离变量，并积分vvv020ddkmgkmtt得vvkmgkmgkgmtln21即kgmtkgmtkmg22e1e1v当t时，极限速率kmgTv。2－12一半径为R的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为m的小球正以角速度沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的高度。解：小球受力如图所示，由牛顿第二定律，运动方程为2sinsinmRFN0cosmgFN上两式消去FN，求得2cosRg小球运动水平面距离碗底的高度为)1()cos1(2RgRRh2－13在光滑的竖直圆环上，套有两个质量均为m的小球A和B，并用轻而不易拉伸的绳子把两球联结起来。两球由图示位置开始释放，试求此时绳上的张力。习题2－13图解：小球A和B受力如图所示，由牛顿第二定律，运动方程为AmaT45sin045cosTmgFNABmaTmg45sin045cosTFNBTmgmgFNAFNBaBaA注意到TT，ABaa，上四式联立求得mgT22mgFNA21mgFNB222－14如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v1，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ角,速率为v2,若车后有一长方形物体,问车速v1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？解：以雨滴为研究对象，地面为静止参考系，汽车为运动参考系。如图，v2为绝对速度，v1为牵连速度，雨滴相对于汽车速度v2为相对速度。要使物体不会被雨水淋湿，v2的方向应满足hlarctan，由图可知cossinarctan221vvv即hlcossin221vvv所以sincos21hlvv2－15一飞机驾驶员想往正北方向航行,而风以h/km60的速度由东向西刮来,如果飞机的航速(在静止空气中的速率)为h/km180,试问驾驶员应取什么航向?飞机相对地面的速率为多少?试用矢量图说明。v2v2v1解：以地面为参考系，飞机为研究对象，如图，飞机相对地面的速度v为绝对速度，风的速度u为牵连速度，飞机的航速v为相对速度。由v＝u＋v可得飞机相对地面的速度170km/hkm/h601802222uvv4.1931arcsinvu，驾驶员应取向北偏东4.19的航向。北西vvu