第二章随机变量及其分布综合检测.

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com选修2-3第二章随机变量及其分布综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝()A．2B．8C．18D．20[答案]C[解析]D(3X＋2)＝9D(X)＝18.2．离散型随机变量X的概率分布列如下：X1234P0.20.30.4c则c等于()A．0.1B．0.24C．0.01D．0.76[答案]A[解析]c＝1－(0.2＋0.3＋0.4)＝0.1.3．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和454，则n、p的值分别是()A．50，14B．60，14C．50，34D．60，34[答案]B[解析]由np＝15np(1－p)＝454得p＝14n＝60.4．某次语文考试中考生的分数X～N(90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是()A．68.26%B．95.44%C．99.74%D．31.74%[答案]B金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com5．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是10，12，则该随机变量的方差等于()A．10B．100C.2πD.2π[答案]C[解析]由正态分布密度曲线上的最高点10，12知12π·σ＝12，∴D(X)＝σ2＝2π.6．(2010·山东文，6)在某项项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A．92,2B．92,2.8C．93,2D．93,2.8[答案]B[解析]本题考查了方差及平均值的概念，数据设置便于运算属基础题，可各减去90，得0,0,3,4,3.3＋4＋3＋0＋05＝2，∴平均数为92，方差(2－0)2＋(2－0)2＋(2－3)2＋(2－4)2＋(2－3)25＝2.8，选B.7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为()A．0.9B．0.2C．0.7D．0.5[答案]D[解析]设事件A、B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P(AB＋AB)＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5.8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为()A．恰有1只是坏的B．4只全是好的C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的[答案]C金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com[解析]X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝Ck7C4－k3C410(k＝1、2、3、4)．∴P(X＝1)＝130，P(X＝2)＝310，P(X＝3)＝12，P(X＝4)＝16，∴选C.9．某计算机网络有n个终端，每个终端在一天中使用的概率为p，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为()A．np(1－p)B．npC．nD．p(1－p)[答案]B[解析]每天平均使用的终端个数X～B(n，p)，每天平均使用的终端个数值即E(X)＝np，故答案选B.10．在高三某个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么，其中数学成绩优秀的学生数X～B5，14，则P(X＝k)＝Ck514k·345－k取最大值时k的值为()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]由Ck－1514k－1·346－k≤Ck514k·345－k，Ck＋1514k＋1·344－k≤Ck514k·345－k.解得12≤k≤32，又因为k∈N*，所以k＝1.11．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2.又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为()A.53B.73C．3D.113[答案]C[解析]∵E(X)＝23x1＋13x2＝43.∴x2＝4－2x1，D(X)＝43－x12×23＋43－x22×13＝29.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∵x1＜x2，∴x1＝1x2＝2，∴x1＋x2＝3.12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4[答案]C[解析]A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7.A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5.A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7.A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.∴选方案A3.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.[答案]503[解析]这是100次独立重复试验，X～B100，16，∴E(X)＝100×16＝503.14．一离散型随机变量X的概率分布列为X0123P0.1ab0.1且E(X)＝1.5，则a－b＝________.[答案]0[解析]∵a＋b＝0.8a＋2b＋0.3＝1.5∴a＝0.4b＝0.4∴a－b＝0.15．(2009·上海·理7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望(均值)E(ξ)________(结果用最简分数表示)[答案]47[解析]本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力．由题意，ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝C25C27＝1021，P(ξ＝1)＝C15C12C27＝1021，P(ξ＝2)＝C22C27＝121.∴ξ的分布列为ξ012P10211021121∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝1221＝47.16．(2010·安徽理，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．[答案]②④[解析]由条件概率知②正确．④显然正确．而且P(B)＝P(B∩(A1∪A2∪A3))＝P(B∩A1)＋P(B∩A2)＋P(B∩A3)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝510·511＋210·411＋310·411＝922.故①③⑤不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．[解析]取球次数X是一个随机变量，X的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X的均金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com值和方差，可先求X的分布列．P(X＝1)＝15＝0.2，P(X＝2)＝45×14＝0.2，P(X＝3)＝45×34×13＝0.2，P(X＝4)＝45×34×23×12＝0.2，P(X＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2.于是，我们得到随机变量X的分布列X12345P0.20.20.20.20.2由随机变量的均值和方差的定义可求得：E(X)＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，D(X)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[点评]把5个小球排成一排，在每一个位置上是白球的概率都是15，∴P(X＝k)＝15，k＝1、2、3、4、5.18．(本题满分12分)9粒种子种在甲，乙，丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．(1)求甲坑不需要补种的概率；(2)求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；(3)求有坑需要补种的概率(精确到0.001)．[解析](1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以甲坑不需要补种的概率为1－18＝78＝0.875.(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为C13×78×182≈0.041.(3)因为3个坑都不需要补种的概率为783，所以有坑需要补种的概率为1－783≈0.330.19．(本题满分12分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第7页共9页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．[解析]分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1、A2、A3.Ⅰ.设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则P(E)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.Ⅱ.解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p＝0.3，所以X～B(3,0.3)，故E(X)＝np＝3×0.3＝0.9.解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝0.3，所以P(X＝0)＝(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝3×(1－0.3)2×0.3＝0.441，P(X＝2)＝3×0.32×0.7＝0.189，P(X＝3)＝0.33＝0.027.于是，E(X)＝1×0.441＋2×0.89＋3×0.027＝0.9.20．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．[解析](1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝A33C25A44＝140.即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)＝A44C25A44＝110.所以，甲、乙两