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第二节牛顿的微积分一《流数简论》《流数简论》表明,牛顿微积分的来源是运动学.1666年,他在坐标系中通过速度分量来研究切线,既促使了流数法的产生,又提供了它的几何应用的关键.牛顿把曲线f(x,y)=0看作动点的轨迹,动点的坐标x,y是时间的函数,而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线,所以曲线f(x,y)=0的切线斜率所以牛顿便在后来称它们为流数,实际上就是x和y对t的导数:而它们的比就是y对x的导数布尼茨发明的,我们这里采用它们是为了叙述方便.牛顿考虑的第一个问题是:给定x和y的关系f(x,y)=0,求的次数……令这些乘积的总和等于零.这个方程就给出速度(流数)之间的关系.若用子表示,则为它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则.实际上,这个式子牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的.他认为,作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同,“因此,如果到某一时刻,它们已描绘的线段为x和y,那么到下一时刻所描绘的线段就是x+xo和y+yo.”牛顿用x+xo和y+yo代替f(x,y)=0中的x和y,于是有按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项,得除以o后便得到(1)式.作为一个实例,可把y=xn写成f(x,y)=y-xn的形式,由(1)式推出的代数式).他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现,即:其中A表示曲线y=f(x)下的面积.从《流数简论》可以看出,他是用如下方法推导这一重要定理的:设y表示曲线f(x)下的面积abc(图11.13),并把它看作垂平行移动,描绘出面积x和y,它们随时间而增加的速度是be和bc,”显然,be=1而bc=f(x).因此,牛顿认为面积y随时间的变化率是这显然等价于(2)式,就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标.他把求积问题看作求变化率的逆过程,即把y看作f(x)的积分(不定积分).牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系.如果面积y=在解决了基本的微积分问题后,牛顿又进一步提出变量代换法,它变量z=1+xn,其流数比为这便是我们熟知的幂函数微分公式,它的现代形式为类似地,牛顿在积分中也采用了代换法,并在稍后的著作中总结出代换积分公式.这个问题将在下面讨论.《流数简论》中,牛顿还导出函数的积和商的微分法则.设y=u(x)·v(x),则由计算流数之比的基本法则得到至于函数和的微分,牛顿认为是显然的,没有作为公式列出.由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念,明确提出一般性的微积分算法,特别是提出微积分基本定理,所以说他“发明”了微积分.不过,他当时只是观察到这一重要定理,至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的.二、《运用无穷多项方程的分析学》(下简称《分析学》)在这本书中,牛顿假定曲线下的面积为z=axm,其中m是有理数.他把x的无穷小增量叫x的瞬,用o表示.由曲线、x轴、y轴及x+o处纵坐标所围成的面积用z+oy表示(图11.14),其中oy是面积的瞬,于是有z+oy=a(x+o)m.根据二项式定理考虑到z=axm,并用o去除等式两边,得略去仍然含o的项,得xy=maxm-1.这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式,或者说是面积z在点的变化率线为y=maxm-1;反之,若曲线是y=maxm-1,则它下面的面积是z=axm.在这里,牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法,而且证明了微积分基本定理.从计算角度来说,他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)(axm)′=maxm-1;在证明了面积的导数是y值,并断言逆过程是正确的以后,牛顿给出下面的法则:若y值是若干项的和,则面积是由每一项得到的面积的和,用现在的话来说,就是函数之和的积分等于各函数的积分的和:∫[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx.他对如下的积分性质也有明确认识:∫af(x)dx=a∫f(x)dx.他利用上述知识得到各种曲线下的面积,解决了许多能表成和式的问题.在此基础上,牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法.例如然后对这个无穷级数逐项积分,得他说,只要b是x的倍数,取最初几项就可以了.y=1-x2+x4-x6+x8-…(1)y=x-2-x-4+x-6-x-8+…(2)他说,当x很小时,应该用(1)式,若x较大就必须用(2)式了.可见他已意识到级数收敛和发散的区别,不过还没有提出收敛的概念.同《流数简论》相比,《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上.牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和,这种观念与现代是接近的.为了求某一个区间的确定的面积即定积分,牛顿提出如下方法:先求出原函数,再将上下限分别代入原函数而取其差.这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式,是他与莱布尼茨各自独立发明的.若采用现代数学符号,该公式可表述为:若F(x)是f(x)在区间[a,b]中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题,所以它是十分重要的.《分析学》中还有其他一些出色的成果,例如,书中给出求高次方程近似根的方法(即牛顿法),导出正弦级数及余弦级数,等等.到此为止,牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法.不过他在概念上仍有不清楚的地方.第一,他的无穷小增量o是不是0?牛顿认为不是.既然这样,运算中为什么可以略去含o的项呢?牛顿没有给出合乎逻辑的论证.第二,牛顿虽然提出变化率的概念,但没有提出一个普遍适用的定义,只是把它想象成“流动的”速度.牛顿自己也认为,他的工作主要是建立有效的计算方法,而不是澄清概念,他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证.”牛顿的态度是实事求是的.三、《流数法和无穷级数》(下简称《流数法》)这是一部内容广泛的微积分专著,是牛顿在数学方面的代表作.在前两部书的基础上,牛顿提出了更加完整的理论.从书中可以看出,牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段.他把随时间变化的量,即以时间为自变量的函数称为流量,以字母表的后几个字母v,x,y,z来表示;把流量的变化速度,即变化率称为流数,以表保留,并且仍用o表示.他在书中明确表述了他的流数法的理论依据,说:“流数法赖以建立的主要原理,乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理,这就是:数学量,特别是外延量,都可以看成是由连续轨迹运动产生的;而且所有不管什么量,都可以认为是在同样方式下产生的.”又说:“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的,这就是假定一个量可以无限分割,或者可以(至少在理论上说)使之连续减小,直至……比任何一个指定的量都小.”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的,他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题.第一类:已知流量的关系求它们的流数之比,即已知y=f(x)或例如书中的问题1:如果流量x和y之间的关系是x3-ax2+axy-y3=0,求它们的流数之比.程中的x和y,得展开后利用x3-ax2+axy-y3=0这一事实再把余下的项除以o,得至此牛顿说:“我们已假定o是无限微小,它可以代表流动量的瞬,所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有.因此我把它们丢掉,而剩下从表面看,这种方法与《流数简论》中的方法一致.所不同的是,数.《简论》中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义.例如,假定y=xn,牛顿首先建立然后用二项式定理展开右边,消去y=xn,用o除两边,略去仍含o的项,结果得当然,在对具体函数微分时,不必采用无穷小而可直接代入公式.第二类:已知一个含流数的方程,求流量,即积分.(x),则数简论》中,牛顿在具体积分中已经采用了这种方法,只是到这时才明确总结出公式.从《简论》及《流数法》两书来看,他推导此式的思路大致如下:由(2),(3)得由微积分基本定理,得牛顿在书中还推出分部积分公式,即∫uv′dx=uv-∫vu′dx.其中u和v都是x的函数.若求∫uv′dx有困难而求∫vu′dx比较容易时,就可利用分部积分公式求积分.牛顿总结了他的积分研究成果,列成两个积分表,一个是“与直线图形有关的曲线一览表”,另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”.这两个表为积分工作提供了许多方便.至此,牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法,他当时统称为流数法.他充分认识到这种方法的意义,说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”,它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题.”《流数法》一书便充分体现了微积分的用途,下面略举几例.例1,在“问题3——极大值和极小值的确定”中,牛顿给出了通过解方程f′(x)=0来求f(x)极值的方法.他写道:“当一个量取极大值或极小值时,它的流数既不增加也不减少,因为如果增加,就说明它的流数还是较小的,并且即将变大;反之,如果减少,则情况恰好相反.所以求出它的流数,并且令这个流数等于0.”他用这种方法解出了九个问题.其中之一是求方程x3-ax2+axy-y3=0中x的最大值.他先求出x和y的流数之比,得即3y2=ax.把上式代入原方程后,就很容易求得相应的x值和y值了.例2,已知曲线方程为x3-ax2+axyy3=0,AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标,求作过D点的切线(图11.15).牛顿先求得流数之间的关系由此得出因BD=y,所以牛顿说:“给定D点后,便可得出DB和AB,即y和x,BT的长度也就给定,由此可确定切线TD.”例3,在“问题12——曲线长度的确定”中,牛顿采用流数法计算弧长.设QR是给定曲线,RN⊥MN,牛顿分别记MN=s.NR=t,QR=v(图11.16),它们的流数分别为s,t,v,然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr,由R向nr引垂线RS,则MN,NR和QR分别增加RS,Sr和Rr.”牛顿说:“因为RS,Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的若换成现在通用的坐标x,y和弧长s,则牛顿的结果为只要对t积分,就可求出弧长s了.综上所述,《流数法》不仅在基本思想上比《分析学》有了发展,而且提供了更加有效的计算方法.但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小,因而同《分析学》一样出现逻辑困难.他尝试建立没有无穷小的微积分,于是有《曲线求积术》(下简称《求积术》)之作.四、牛顿的极限理论牛顿的四部微积分专著中,《曲线求积术》是最后写成(1693)但最早出版(1704)的一部.在书中,导数概念已被引出,而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数.牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了,他算出许多复杂图形的面积.阿达玛(J.Hadamard,1865—1963)称赞说,该书“论述的有理函数积分法,几乎不亚于目前的水平.”值得注意的是,在《求积术》中,牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分.他在序言中明确指出:“数学的量并不是由非常小的部分组成的,而是用连续的运动来描述的.直线不是一部分一部分的连接,而是由点的连续运动画出的,因而是这样生成的;面是由线的运动,体是由面的运动,角是由边的旋转,时间段落是由连续的流动生成的.”在这种思想指导下,他放弃了无穷小的概念,代之以最初比和最后比的新概念.为了求函数y=xn的导数,牛顿让x“由流动”而成为x+o,于是xn变为的最后比等于1比nxn-1.所以量x的流数与量xn的流数之比等于1比nxn-1.”牛顿认为这个比即增量的最初比,可见最初比与最后比的实质是一样的,都表示y关于x的导数,或者说是y对于x的变化率.用现在的符号可写成y′=nxn-1.牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释:如图11.17,假定bc移向BC,使得c和C重合,那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于△CET的各边之比,即把这些增量看作初生量的最初比.”他说,“只有点C与c完全重合了,直线CK才会与切线(CH)重合,而CE、Ec、Cc的最后比才能求出.”显然,他是把切线CH当作割线CK的极限位置.实际上,早在《自然哲学的数学原理》(下简称《原理》)一书中,牛顿就表述了明确的极限思想.他说:“
本文标题:第二节牛顿的微积分
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