第二轮复习--数列求和与求通项公式的方法总结

数列求和与求通项公式的方法总结一、数列求和：数列求和问题中要侧重对数列通项公式的分析、变形、处理、最后转化为我们所熟悉的求和类型，所以关键是对通项公式的把握。例如：（1）求数列,11,,321,211nn的前n项和1.利用常用求和公式求和：（1）等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（2）等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn2.错位相减法求和：用于数列{an·bn}前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差、等比数列.（1）求和：132)12(7531nnxnxxxS（2）设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．3.裂项法求和：适合于通项公式为分子为常数，分母为两公差相同的等差数列乘积的分式如：（1）n......3211.......32112111=（2）)12)(12(1.......531311nn4.分组法求和：（1）求数列3＋13，32＋132，……，3n＋13n的各项的和。（2）求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…二、数列求通项：1.满足等差、等比数列定义用公式法：（1）dnaan)1(1（2）11nnqaa例1：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，求数列{an}和{bn}的通项公式；2.已知数列}{na前n项和nS，则2111nSSnSannn（注意：不能忘记讨论1n）例2：（1）已知下列两数列}{na的前n项和sn的公式，求}{na的通项公式。1）nnSn2。2）12nsn（2）设数列}{na的前n项和为nS，且*111,42()nnaSanN，1）设2nnnab，求证：数列{}nb是等差数列；2）求数列}{na的通项公式及前n项和的公式。3.利用递推关系变形处理、转化求解的类型：（1）累加法：形如1()nnaafn的递推例3：在数列｛na｝中，1a=6,,121naann求此数列的通项。（2）累乘法：形如1()nnafna的递推例4：在数列｛na｝中，1a=1,(n+1)·1na=n·na，求na的表达式（3）构造法：其中常见①一阶线性数列：.aAaBnn1（A、B为常数）型递推式例5：已知数}{na的递推关系为121nnaa，且11a求通项na。提示性构造：例6.已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；练习：1．数列na中，2,841aa且满足nnnaaa122*Nn⑴求数列na的通项公式；⑵设||||||21nnaaaS，求nS；⑶设nb=)12(1nan)(),(*21*NnbbbTNnnn，是否存在最大的整数m，使得对任意*Nn，均有nT32m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2.设数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数y＝xx232的图像上。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设13nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m。3.已知数列{}na满足：61a，)2)(1(21nnannann，（1）求2a，3a；（2）若(1)nnadnn，求数列{}nd的通项公式；4．已知在数列na中121,2aa，数列na的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列nb满足212nnnaba，数列nb的前n项和为nS，（1）写出数列na的通项公式；（2）求nS；5、设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．已知37S，且123334aaa，，构成等差数列．（1）求数列{}na的通项公式．（2）令31ln12nnban，，，，求数列{}nb的前n项和T．6、设正数数列na的前n项和为nS，且对任意的*Nn，nS是2na和na的等差中项．（1）求数列na的通项公式；（2）在集合kmmM2{，Zk，且}15001000k中，是否存在正整数m，使得不等式210052nnaS对一切满足mn的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；