第五章 动量

2006-2007年度第一阶段高考总复习2006.10-33-第五章动量一、.动量和冲量1．动量物体的质量m和速度v的乘积叫做动量：p=mv⑴动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。⑵动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。2．冲量力F和力的作用时间t的乘积叫做冲量：I=Ft⑴冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应。⑵冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和力的方向相同）。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。⑶高中阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化来求。⑷冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。例1．质量为m的小球由高为H倾角为α的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？解：力的作用时间都是gHgHt2sin1sin22，力的大小依次是mg、mgcosα和mgsinα，所以它们的冲量依次是：gHmIgHmIgHmING2,tan2,sin2合特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。二、动量定理1．动量定理物体所受合力的冲量等于物体的动量变化。既I=Δp⑴动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合力的冲量（或者说是物体所受各外力冲量的矢量和）。⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。⑶动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。例2．以初速度v0平抛出一个质量为m的物体，抛出后t秒内物体的动量变化是多少？解：本题若用动量变化求，将遇到矢量相减的问题。若利用动量定理求则相当简单：抛出后物体所受合力就是重力，所以Δp=Ft=mgt有了动量定理，不论是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。当合力为恒力时往往用Ft来求较为简单；当合力为变力时，在高中阶段只能用Δp来求。2．利用动量定理定性地解释一些现象例3．鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？解：两次碰地（或碰塑料垫）瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。根据Ft=Δp，第一次与地板作用时的接触时间短，作用力mHα2006-2007年度第一阶段高考总复习2006.10-34-大，所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。（再说得准确一点应该指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板相互作用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑料垫相互作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。）3．利用动量定理进行定量计算利用动量定理解题，必须按照以下几个步骤进行：⑴明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的质点组。质点组内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。⑵进行受力分析。只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力。所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力（内力）会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选定的研究过程中的不同阶段中物体的受力情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。⑶规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负。⑷写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和）。⑸根据动量定理列式求解。例4．质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t1到达沙坑表面，又经过时间t2停在沙坑里。求：⑴沙对小球的平均阻力F；⑵小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I。解：设刚开始下落的位置为A，刚好接触沙的位置为B，在沙中到达的最低点为C。⑴在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t1+t2，而阻力作用时间仅为t2，以竖直向下为正方向，有：mg(t1+t2)-Ft2=0，解得：221tttmgF⑵仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在t1时间内只有重力的冲量，在t2时间内只有总冲量（已包括重力冲量在内），以竖直向下为正方向，有：mgt1-I=0,∴I=mgt1这种题本身并不难，也不复杂，但一定要认真审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力灵活组合。若本题目给出小球自由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当t1t2时，Fmg，这种情况下，减速阶段的重力可以忽略不计。例5．质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为amM，该过程经历时间为v0/μg，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：000,vMggamMvvmMvMgvamMABCmMv0v/2006-2007年度第一阶段高考总复习2006.10-35-这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是amM。例6．蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。质量为60kg的运动员，从离水平网面3.2m高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0m高处。已知运动员与网接触的时间为t=1.2s。若把在这段时间内网对运动员的作用力F当作恒力处理，求F的大小。解：运动员下降、上升时间分别是s8.0211ght和s0.1222ght，从开始下落到反跳到最高点的全过程对运动员用动量定理：mg(t1+t2+t)-Ft=0，F=1500N三、动量守恒定律1．动量守恒定律一个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。即：22112211vmvmvmvm实际上，对系统用动量定理：“外力的冲量等于系统动量的变化。”那么，当合外力为零时，系统总动量不变。这就是动量守恒。与机械能守恒对照：机械能守恒的条件是“只有重力做功”，而动量守恒的条件是“合外力为零”。动量守恒可由动量定理推出，而机械能守恒要由机械能定理推出。例7．如图：滑块静止在光滑轨道的水平部分。子弹沿水平方向射入滑块，并留在其中，共同冲上斜轨道。在射入阶段和上滑阶段，系统的动量和机械能守恒吗？为什么？解：射入阶段系统所受合外力为零，动量守恒，但系统内有摩擦生热，机械能不守恒。冲上阶段系统所受合外力不是零，动量不守恒，但系统只有重力做功，因此机械能守恒。例8．如图：两滑块用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，用水平力F压B使A靠在竖直墙上，使弹簧被压缩到一定程度而静止。这时突然撤去F。在A离开墙前和离开墙后，系统的机械能守恒吗？动量守恒吗？为什么？解：A离开墙前墙对系统有弹力，因此系统动量不守恒，但该弹力对系统不做功，因此系统机械能守恒。A离开墙后，系统所受合外力为零，且没有摩擦和介质阻力，因此系统动量、机械能都守恒。2．动量守恒定律成立的条件⑴系统不受外力或者所受外力之和为零；⑵系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；（子弹打木块、列车撞接等）⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。（物块沿斜面下滑不计任何摩擦阻力时，水平方向动量守恒。）⑷全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。3．动量守恒定律的表达形式除了22112211vmvmvmvm，即p1+p2=p1/+p2/外，还有：Δp1+Δp2=0，Δp1=-Δp2和1221vvmm与机械能守恒不同的是：动量变化也是矢量，因此不能说“系统增加的动量与减少的动ABF2006-2007年度第一阶段高考总复习2006.10-36-量等值”。如静止的铀核发生α衰变，反冲核和α粒子的动量的动量变化大小相同，方向相反，动量变化的矢量和是零，但两个动量都增大了。4．动量守恒定律的重要意义动量守恒定律和能量守恒定律是物理学中最基本的普适原理。从科学实践的角度来看，迄今为止，人们尚未发现动量守恒定律有任何例外。相反，每当在实验中观察到似乎是违反动量守恒定律的现象时，物理学家们就会提出新的假设来补救，最后总是以有新的发现而胜利告终。例如静止的原子核发生β衰变放出电子时，按动量守恒，反冲核应该沿电子的反方向运动。但云室照片显示，两者径迹不在一条直线上。为解释这一反常现象，1930年泡利提出了中微子假说。由于中微子既不带电又几乎无质量，在实验中极难测量，直到1956年人们才首次证明了中微子的存在。又如人们发现，两个运动着的带电粒子在电磁相互作用下动量似乎也是不守恒的。物理学家又把动量的概念推广到了电磁场，把电磁场的动量也考虑进去，总动量就又守恒了。四、动量守恒定律的应用1．两体碰撞两个物体在极短时间内发生相互作用，这种情况称为碰撞。由于作用时间极短，一般都满足内力远大于外力，可以认为系统的动量守恒。碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。仔细分析两物体发生碰撞的全过程中动量和能量的变化：设光滑水平面上，质量为m1的物体A以速度v1向质量为m2的静止物体B运动。⑴若A、B弹性都很好（撤去外力后能完全恢复原状），则可以等效为B的左端连有轻弹簧。在Ⅰ位置A、B刚好接触，弹簧开始被压缩，A开始减速，B开始加速；到Ⅱ位置A、B速度刚好相等（设为v），弹簧被压缩到最短；再往后A、B开始远离，弹簧开始恢复原长，到Ⅲ位置弹簧刚好为原长，A、B分开，这时A、B的速度分别为21vv和。全过程系统动量是守恒的，机械能也是守恒的。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能，Ⅱ状态系统动能最小而弹性势能最大；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能；因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等。这种碰撞叫做弹性碰撞。在Ⅰ→Ⅲ全过程对系统用动量守恒和能量守恒：m1v1=m1v1´+m2v2´，2/222/11211212121vmvmvm，由此方程组解得A、B的最终速度分别为：121121212112,vmmmvvmmmmv。（这个结论最好背下来，以后经常要用到。）对应图象：⑵若A、B完全没有弹性（撤去外力后保持形变，不能恢复原状）。Ⅰ→Ⅱ系统动能减少，全部转化为内能(分子动能或分子势能)。由于没有弹性，A、B不再分开，而是共同运动，不再有Ⅱ→Ⅲ过程。这种碰撞叫完全非弹性碰撞。在Ⅰ→Ⅱ过程用动量守恒和能量守恒：AABABABv1vv1/v2/ⅠⅡⅢtvtOv0vOv0vtOv0m1=m2m1m2m1m22006-2007年度第一阶段高考总复习2006.10-37-m1v1=(m1+m2)v，221211)(2121vmmvmEk，由此方程组解得：A、B最终的共同速度为1211vmmmv。系统的动能损失为21212122121122121mmvmmvmmvmEk。（这个结论最好背下来，以后经常要用到。）⑶若A、B的弹性介于以上两种情况之间。则Ⅰ→Ⅱ系统动能减少，一部分转化为弹性势能，一部分转化为内能；Ⅱ→Ⅲ弹性势能转化为动能，两物体分开。全过程系统动能有损失（一部分动能转化为内能）。这种碰撞叫非弹性碰撞。最终A、B的末速度也将介于上述两种结论之间。例9．质量为M的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m的小球以速度v1向物块运动。不计一切摩擦，圆弧小于90º且足够长。求小球能上升到的最大高度H和物块的最终速度v。解：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。在小球上升过程中，由水平方向系统动量守恒得：mv1=(M+m)v´由系统机械能守恒