第五单元数列

单元能力检测(五)[考查范围：第五单元数列]时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3S6＝13，则S6S12等于()A.13B.15C.18D.192．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()A．8B．7C．6D．53．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝3，前3项和S3＝21，则a3＋a4＋a5＝()A．2B．33C．84D．1894．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7－a10＝5，a11－a4＝7，则S13等于()A．152B．154C．156D．1585．已知数列{an}中，a1＝b(b1)，an＋1＝－1an＋1(n∈N*)，能使an＝b的n可以等于()A．14B．15C．16D．176．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－1(n∈N*)，则Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1的结果可化为()[来源:学#科#网Z#X#X#K]A．1－14nB．1－12nC.231－14nD.231－12n7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S150，S160，则S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的是()A.S6a6B.S7a7C.S8a8D.S9a98．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D.43二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置)9．在等比数列{an}中，a5·a11＝3，a3＋a13＝4，则a15a5＝________.10．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝5an－133an－7(n∈N*)，则数列{an}的前100项的和为________．11．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________.12．数列{an}中，a1＝35，an＋1－an＝2n－1(n∈N*)，则ann的最小值是________．13．已知a，b，c是递减的等差数列，若将数列中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a2＋b2c2的值为________．14．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组，其排列的规律如下图所示：正三角形数组正方形数组正五边形数组每边1个钢珠每边2个钢珠每边3个钢珠每边4个钢珠已知m个钢珠恰好可以排成每边n个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个；且知若用这m个钢珠去排成每边n个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则m＝________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)在数列{an}、{bn}中，已知{an}是等差数列，且a2＝3，a5＝9，又点(n，bn)在曲线y＝3x上．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)令cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn.16．(13分)设各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在最小正整数m，使得当n≥m时，an201115恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．zxxk17．(13分)某同学在暑假的勤工俭学活动中，帮助某公司推销一种产品，每推销1件产品可获利润4元，第1天他推销了12件，之后加强了宣传，从第2天起，每天比前一天多推销3件．问：(1)该同学第6天的获利是多少元？(2)该同学参加这次活动的时间至少要达到多少天，所获得的总利润才能不少于1020元？18．(14分)已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn是其前n项和，且满足S2n－1＝12a2n，n∈N＋.(1)求an；(2)数列{bn}满足bn＝2n－1n为奇数，12an－1n为偶数，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.19.(14分)数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列，且b1＋b3＝5，b1b3＝4.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若an＝log2bn＋3，求证数列{an}是等差数列；(3)若a21＋a2＋a3＋…＋am≤a46，求m的最大值．20．(14分)已知数列{an}单调递增，且各项非负，对于正整数K，若对任意i，j(1≤i≤j≤K)，aj－ai仍是{an}中的项，则称数列{an}为“K项可减数列”．(1)已知数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{bn－2}是“K项可减数列”，试确定K的最大值．(2)求证：若数列{an}是“K项可减数列”，则其前n项和Sn＝n2an(n＝1,2，…，K)．zxxk单元能力检测(五)1．B[解析]设等比数列{an}的公比为q，则由S3S6＝13，得1－q31－q6＝13，解得q3＝2，所以S6S12＝1－q61－q12＝1－41－16＝15，故选B.2．D[解析]∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2a1＋(2k＋1)d＝4k＋4，∴4k＋4＝24，可得k＝5，故选D.3．C[解析]设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a1＋a2＋a3＝21，得a1(1＋q＋q2)＝21，即q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍去)，∴a3＋a4＋a5＝a1(q2＋q3＋q4)＝3(22＋23＋24)＝84，故选C.[来源:Z.xx.k.Com]4．C[解析]由题设a3＋a7－a10＝5，a11－a4＝7，得a3＋a11＋a7－(a10＋a4)＝12，即a7＝12，则S13＝13a1＋a132＝13·2a72＝156，故选C.5．C[解析]∵a1＝b(b1)，∴a2＝－1b＋1，a3＝－b＋1b＝－1－1b，a4＝b，由此可得数列{an}是周期为3的数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝b，故选C.6．C[解析]由已知，有Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，两式相减，得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，∴数列{an}是公比为2的等比数列，又S1＝2a1－1，得a1＝1，则an＝2n－1，1anan＋1＝122n－1，∴Tn＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝12＋123＋125＋…＋122n－1＝121－14n1－14＝231－14n，故选C.zxxk7．C[解析]由S150，得S15＝15a1＋a152＝15a80，即a80，由S160，得S16＝16a1＋a162＝8(a8＋a9)0，即a9－a80，∴数列{an}是递减数列，前8项为正，第9项起为负，则S8最大，而正项中a8最小，故选C.8．A[解析]设等比数列的公比为q，由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)．由aman＝4a1，得a1·2m－1·a1·2n－1＝4a1，即2m＋n－2＝24，m＋n＝6，∴1m＋4n＝1m＋4n·m＋n6＝56＋2m3n＋n6m≥56＋22m3n·n6m＝56＋23＝32，当且仅当2m3n＝n6m，即m＝2，n＝4时取等号，故选A.9．3或13[解析]∵a5·a11＝a3·a13＝3，a3＋a13＝4，∴a3＝1，a13＝3或a3＝3，a13＝1，∴a15a5＝a13a3＝3或13，故选C.10．200[解析]由已知an＋1＝5an－133an－7，得a2＝3，a3＝1，a4＝2，…，由此可知数列{an}是周期为3的数列，其前100项的和为33×6＋2＝200.11．1[解析]方法一：由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10，∴a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.方法二：∵S2＝a1＋a2＝2S1，∴a2＝1，∵S3＝S1＋S2＝3，∴a3＝1，∵S4＝S1＋S3＝4，∴a4＝1，由此归纳a10＝1.12．10[解析]由已知，得a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2(n－1)－1，各式相加，得an－a1＝1＋3＋…＋2(n－1)－1＝n－11＋2n－32＝(n－1)2，即an＝(n－1)2＋35，∴ann＝n＋36n－2≥2n·36n－2＝10，故当且仅当n＝36n，即n＝6时，ann有最小值，最小值是10.13.516或174[解析]依题意，得①a＋c＝2b，b2＝ac或②a＋c＝2b，a2＝bc或③a＋c＝2b，c2＝ab，zxxk由①得a＝b＝c，与“a，b，c是递减的等差数列”相矛盾；由②消去c整理得(a－b)(a＋2b)＝0，又ab，∴a＝－2b，c＝4b，a2＋b2c2＝516；由③消去a整理得(c－b)(c＋2b)＝0，又bc，∴c＝－2b，a＝4b，a2＋b2c2＝174.14．126[解析]每边n个钢珠的正三角形需要钢珠nn＋12个，每边n个钢珠的正方形需要钢珠n2个，根据已知nn＋12＋n2＝m.设每边n个钢珠的正五边形需要钢珠an个，根据组成规律，则an＋1＝an＋3n＋1且a1＝1，根据这个递推式解得an＝1＋3n＋2n－12，根据已知1＋3n＋2n－12＋9＝m.所以nn＋12＋n2＝10＋3n＋2n－12，解得n＝9，所以m＝9×102＋92＝126.15．[解答](1)设等差数列{an}的公差为d，则3d＝a5－a2＝9－3＝6，d＝2，∴数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d＝a2－d＋(n－1)d＝2n－1；∵点(n，bn)在曲线y＝3x上，∴数列{bn}的通项公式为bn＝3n.(2)由已知cn＝an＋bn，得数列{cn}的前n项和为Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝n1＋2n－12＋31－3n1－3＝12·3n＋1＋n2－32.16．[解答](1)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17，知q≠1，所以得a1q4－1q－1＝1，a1q8－1q－1＝17.相除得q8－1q4－1＝17，解得q4＝16，所以q＝2或q＝－2(舍去)．将q＝2代入a1q4－1q－1＝1得a1＝115，所以an＝2n－115.(2)由an＝2n－115201115，得2n－12011，而2102011211，所以n－1≥11，即n≥12.因此，存在最小的正整数m＝12，使得n≥m时，an201115恒成立．17．[解答](1)记此同学第n天推销的产品的件数为an，由题设可知，{an}是一个公差为3的等差数列，则an＝12＋(n－1)×3＝3n＋9，a6＝27，∴该同学第6天的获利是27×4＝108(元)．(2)设该同学前n天推销的产品的件数为Sn，由题设可知，Sn＝12n＋nn－12×3，[来源:学科网ZXXK]令4Sn≥1020，即12n＋nn－12×3≥255，化简，得n2＋7n－170≥0，解得n≥10或n≤－17(舍去)，故该同学参加这次活动的时间至少要达到10天，所获得的总利润才能不少于1020元．18.[解答](1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，在S2n－1＝12a2n中，令n＝1，n＝2，得2S1＝a21，2S3＝a22，即2a1＝a21，23a1＋3d＝a1＋d2，解得a1＝2，d＝4或d＝－2(舍去)．所以an＝4n－2.(2)由(1)得bn＝2n－1n为奇数，2n－3n为偶数，所以T2n＝1＋(2×2－3)＋22＋(2×4－3)＋24＋(2×6－3)＋…＋22n－2＋(2×2n－3)＝1＋22＋24＋…＋22n－2＋4(1＋2＋…＋n)－3n＝1－4n1－4＋4×nn＋12－3n＝4n3＋2n2－n－13.ks5u[来源:学科网]19