第五章向量代数与空间解析几何

第五章向量代数与空间解析几何本章主要知识点矢量运算平面方程直线方程常见曲面及方程第一节向量代数【主要考点】（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，，会球单位向量‘方向余弦、向量在坐标轴上的投影。（2）掌握向量的线性运算，、向量的数量积与向量积的计算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的条件。【考点精要】一、空间直角坐标系从空间某定点O做三条互相垂直的数轴，都以O为原点，有相同的长度单位，分别称为x轴，y轴，z轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O为坐标原点。1.两点间的=距离设点1111,,zyxM，),,(2222zyxM为空间两点，则这两点间的距离可以表示为21221221221)()()(zzyyxxMMd2.定比分点公式),,(zyxM是AB的分点：MBAM点BA,的坐标为),,(),,,(222111zyxBzyxA则1,1,1212121zzzyyyxxx当M为中点时，2,2,2212121zzzyyyxxx二、向量1.向量的基本概念（1）向量的定义既有大小，又有方向的概量，称为向量或矢量。（2）向量的模向量的大小称为向量的模，用|a|AB或表示向量的模。（3）单位向量模为1的向量称为单位向量。（4）零向量模为0的向量称为零向量，零向量的方向是任意的。（5）向量的相等大小相等且方向相同的向量称为相等的向量。（6）自由向量在空间任意地平行移动后不变的向量，称为自由向量。（7）向径终点为P的向量OP称为点P的向径，记为OP。2.向量的线性运算（1）向量的加法①三角形法则若将向量a的终点与向量b的起点放在一起，则以a的起点为点，以b的终点为中点的向量称为向量a与b的和向量，记为a+b。这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。②平行四边形法则将两个向量a和b的起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为a+b。这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。向量的加法满足下列运算律交换律：a+b=b+a结合律：（a+b）+c=a+(b+c)（2）向量与数的乘法运算实数与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数的乘积，记作a，并且规定：①|a|=|||a|;②当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反;③当=0时，a零向量。设，都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：结合律：（a）=（）a=（a）分配律：（+）a=a+a，（a+b）=a+a向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算。（3）求与a同向的单位向量的方法设向量a是一个非零向量，则与a同向的单位向量aaea(4)负向量当=-1时，记（-1）a=-a，则-a与a的方向相反，模相等，-a称为向量a的负向量。（5）向量的减法两向量的减法（即向量的差）规定为a–b=a+（-1）b向量的减法也可以按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一起，a–b即是以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量。3.向量的坐标表示（1）基本单位向量i,j,k分别为与x轴，y轴，z轴同向的单位向量。（2）向径的坐标表示点P(321,,aaa)的向径OP=kajaia321或简记为OP321,,aaa（3）21MM的坐标表示设以1111,,zyxM为起点，以2222,,zyxM为终点的向量21MM的坐标表达式为21MMkzzjyyixx)()()(121212（4）向量a=kajaia321的模|a|232221aaa4.坐标表示下列向量的线性运算设a=kajaia321，b=kbjbib321,则有(1)a+b=kbajbaiba）（）（）（332211(2)a-b=kbajbaiba）（）（）（332211(3)a=(kajaia321)=kajaia3214.向量的数量积（1）定义设向量a,b之间的夹角为）（0，则|a||b|cos为向量a与b的数量积，记作a﹒b,即a﹒b=|a||b|cos.向量的数量积又称“点积”或“内积”.向量的数量积还满足下列运算律:交换律：a﹒b=b﹒a分配律：(a+b)﹒c=结合律：a﹒c+b﹒c结合律：(a﹒b)=(a)﹒b(其中为常数).（2）数量积的坐标表示.设a=a1i+a2j+a3k,则a﹒b=a11b+a22b+a33b.(3)向量a与b的夹角余弦设a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,则)0(cos232221232221332211bbbaaabababababa(4)向量的方向余弦设向量a=a1i+a2j+a3k与x轴，y轴，z轴的正向夹角分别为),,,0(,,称其为向量a的三个方向角，并称cos,cos,cos为a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为,cos,cos,cos232221323222122322211aaaaaaaaaaaa且1coscoscos2225.向量的数量积（1）定义两个向量a与b的向量积是一个向量，记作ab,它的模和方向分别规定如下：①ab=|a||b|sin其中是向量a与b的夹角；②ab的方向为既垂直a又垂直于b，并且按顺序a,b,ab符合右手法则.向量的向量积满足如下运算律.反交换律：ab=-ba;分配律：（a+b）c=ac+bc;结合律：（ab）=(a)b+a(b)(其中为常数).(1)向量积得坐标表示设a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k,则a×b=(2332baba)i-(1331baba)j-(1221baba)k可将a×b表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可，即a×b=321321bbbaaakji6.三个重要结论（1）a=b332211,,bababa（2）a⊥ba﹒b=0,a11b+a22b+a33b=0(3)a∥ba=b332211bababaa×b=0其中，“”表示“充分必要条件”。【典型例题】例1设a,b为两个非零向量，为非零常数，若向量a+b垂直于向量b,则等于（）（A）2bba(B)-2bba(C)1（D）ab分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果a+b垂直于向量b，因此应有（a+b）﹒b=0即a﹒b+b﹒b=0a﹒b+|b|2=0由于b为非零向量，因而应有=-2bba，故应选（B）例2设向量AB=4i-4j+7k的终点B的坐标为（2，-1,7）。求（1）始点A的坐标；（2）向量AB的模；（3）向量AB的方向余弦；（4）与向量AB方向一致的单位向量。解：（1）设始点A的坐标（x,y,z），则有2-x=4,-1-y=-4,7-z=7,得x=-2,y=3,z=0;(2)9744222）（AB(3)97cos,94cos,944cosAB(4)91ABABAB(4i-4j+7k)例3已知向量a与向量b=3i+6j+8k及x轴垂直，及且|a|=2，求出向量a.解：因为a⊥b,a⊥i(垂直于x轴)，故a与向量b×i平行。由两向量平行的充要条件，a可以写成a=（b×i）即a=003863kji（8j-6k）由题设|a|=2,得51468268222,22，）（，）（）（从而得a=58j-56k,或a=-58j+56k第二节平面与直线【主考要点】（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。会判断两平面的垂直、平行。（2）会求点到平面的距离。（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。【考点精要】一、平面及其方程1.法（线）向量，法（线）方向数与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记为n。法向量pnm,,的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2.点法式方程已知平面过M(000,,zyx)点，其法向量CBAn,,,则平面的方程为0)()(000zzCyyBxxA）（或0)(0rrn其中0000,,zyxr，zyxr,,3.一般式方程Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C不全为零。X,y,z前的系数表示的法线方向数，CBAn,,是的法向量。特别情形：Ax+By+Cz=0，表示通过原点的平面。Ax+By+D=0，平行于z轴的平面。Ax+D=0，平行于yoz平面的面。x=0表示yoz平面。4.两平面的关系两平面为011111DzCyBxA022222DzCyBxA1与2间夹角）（222222212121212121cosCBACBACCBBAA垂直条件0212121CCBBAA平行条件)(2112121DDCCBBAA重合条件2112121DDCCBBAA设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，而点),,(1111zyxM为平面外的一点，则M到平面的距离为d：222111CBADCzByAxd二、直线及其方程1.方向向量、方向数与直线平行的非零向量S，称为直线L的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。2.直线的标准方程nzzmyylxx000其中),,(000nmx为直线上的点，l,m,n为直线的方向数。3.参数式方程ntzzmtyyltxx000tnmlS,,,为参变量。4.两点式设),,(),,,(222111zyxBzyxA为不同的两点，则通过BA和的直线方程为121121121zzzzyyyyxxxx5.一般式方程（作为两平面的交线）：0022221111DzCyBxADzCyBxA6.两直线的关系两直线为22222221111111::nzzmyylxxLnzzmyylxxL21LL与间夹角222222212121212121cosnmlnmlnnmmll垂直条件0212121nnmmll平行条件2121211nnmml三、平面与直线相互关系平面的方程为：0DCzByAx直线L的方程为：nzzmyylxx000与L间夹角）（222222sinnmlCBACnBmAl与L垂直条件CnBmAl与L平行条件0CnBmAl与L重合条件0CnBmAlL上有一点在上【典型例题】一、直线方程例1求通过点)3,1,2(0P且与直线22011zyx垂直相交的直线方程.解利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线的方向向量S.为此先求出过点)3,1,2(0P且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直线与此平面的交线，利用交点与已知点找出所求直线的方向向量S,即可得到所求的直线方程.其步骤如下:(i)过点0P垂直于已知直线的平面方程为0)2(2)2zx（，即042zx.(ii)求上述平面与直线的交点1P，为此令,0,1,22011ytxtzyxtz22，将上述参数方程代入平面042zx中，有，得04)22(21tt，得51t，所以,512,0,54zyx即512,0,541P，所以S53,1,5610PP，(iii)写出所求直线方程。由于直线过点)3,1,2(0P，故所求直线方程为.335162,53311562zyxzyx即例2求过点)1,2,1(0M且与平面12:1