第五章基本极限定理

概率论与数理统计教案第五章基本极限定理1第五章基本极限定理【授课对象】理工类本科二年级【授课时数】2学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解切比雪夫(车贝晓夫)不等式；2、了解车贝晓夫大数定理及Bernoulli大数定理；3、知道独立同分布的中心极限定理，了解德莫佛—拉普拉斯中心极限定理。【本章重点】车贝晓夫不等式，车贝晓夫大数定理及Bernoulli大数定理。【本章难点】对车贝晓夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。【授课内容及学时分配】§5.0前言在第一章中我们曾提出，大量重复试验中事件发生的频率具有稳定性，随着试验次数n的无限增大，事件A在n次试验中出现的次数n与试验次数之比nn(即频率)稳定在某个确定的常数附近（频率的稳定性），以此常数来近似作为事件A在一次试验中发生的概率，并在实际中，当n充分大时，用频率值作为概率值的近似估计。对于这些，我们需要给出理论上的说明，而这些理论正是概率论的理论基础。§5.1切比雪夫不等式及大数定律一、切比雪夫不等式定理1设随机变量具有有限的期望与方差，则对0，有2)())((DEP或2)(1))((DEP证明：仅对连续的情形给予证明，设的分布函数为)(xF，则概率论与数理统计教案第五章基本极限定理2)(22)()())(()())((ExExxdFExxdFEP222)()())((1DxdFEx该不等式表明：当)(D很小时，))((EP也很小，即的取值偏离)(E的可能性很小。这再次说明方差是描述取值分散程度的一个量。在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。二、大数定律(——包括强大数定律和弱大数定律，本书主要讲弱大数定律)定义：设n是随机变量序列，它们都具有有限的数学期望),(),(21EE，若对0，011lim11niiniinnEnP，则称n服从弱大数定律。定理2（车贝晓夫大数定律）设相互独立的随机变量n,,1分别具有数学期望)(,),(1nEE及方差)(,),(1nDD，若存在常数C使,2,1)(iCDi（方差一致有界），则}{n服从大数定律。既对任意的0，有0})(11{lim11niniiinEnnP证明：由车贝晓夫不等式知：,0有：)(0)1(1})(11{02222211211nnCnnCnDnDEnnPniiniininiii注：切比雪夫大数定律是最基本的大数定理，作为切比雪夫大数定律的特殊情形有Bernoulli大数定理和Poisson大数定律。定理3（Bernoulli大数定理）设n是n重Bernoulli试验中事件A出现的次数，已知在每次试验中A出现的概率为)10(pp，则对0，0limpnPnn概率论与数理统计教案第五章基本极限定理3证明：令不出现次试验中第出现次试验中第AiAii01，ni,1,2,＝则nn＝niin11，PEi)(，41)1()(PPDi，ni,1,2,＝于是由切比雪夫不等式，对0，有niiniiniinEnPnEnPPnP111)(1110)(1)(112112212nDnEnDniinii)(n即Pnn)(n。故{i}服从大数定律。可见，只要把)2,1(ii看作服从（0-1）分布的随机变量即可。Bernoulli大数定律在理论上说明了在大量重复独立实验中，事件出现频率的稳定性，正是因为这种稳定性，概率才有客观意义。而Poisson大数定律则为切比雪夫大数定律的另一特例定理4（Poisson大数定律）设n是n次独立试验中事件A出现的次数，已知在第i次试验中A出现的概率为ip（10ip）,2,1i，则对0nlim{|nn—n1niPi1}=0证：（略）显然，Poisson大数定律是作为Bernoulli大数定律的推广，它表明随着n，n次独立试验中事件A出现的概率稳定于各次试验中事件A出现的概率的算术平均值。推论：设n,,1是相互独立的随机变量，且服从相同的分布，,2,1)(,)(2iDEii，则,0有：0}1{lim1niinnP1}1{lim1niinnP即niin11以概率1收敛概率论与数理统计教案第五章基本极限定理4于这个结论有很实际的意义：人们在进行精密测量时，为了减少随机误差，往往重复测量多次，测得若干实测值n,,1，然后用其平均值niin11来代替。§5.2中心极限定理设{n}是相互独立的随机变量序列，niDEiiii,,2,12令nS=niiiE1则nB2=nDS=DniiiE1=niiD1=nii12，设n=BnSn（标准化）2,1n，下面研究n的分布：Df1：设{n}为相互独立的随机变量序列，若P{xn}以概率1收敛于标准正态分布)1,0(N的分布函数)(x,即nlimP{xn}=21dtext22，则称{n}服从中心极限定理。Df2:（不讲）设随机变量,,21的分布函数为1F(X),2F(X),，若nF(X)弱收敛于正态分布),(2N的分布函数，则称}{n渐近于正态分布),(2N中心极限定理有多种不同的形式，下面我主要讲两种形式：一、独立同分布的中心极限定理定理1:(莱维—林德伯格定理)设}{n是独立同分布的随机变量序列，2,iiDE（有限），若Rx，随机变量nniin1)(的分布函数xPxFnn)(收敛于标准正态分布1,0N的分布函数，即)()(limxxFnn，则}{n服从中心极限定理。证：（略）更进一步的有：对ba，)()(}{limabbaPnn概率论与数理统计教案第五章基本极限定理5二、德莫佛—拉普拉斯中心极限定理定理2:设),2,1(nn是n重Bernoulli试验中成功的次数，已知每次试验成功的概率为pqpp1,10，则对,Rx有xdttxnpqnpPxnne2221}{lim或ba，有abbnpnpaPnn}{lim证明：令反之次试验成功第01ii则}{i为独立同分布的随机变量序列,且41)1(ppDpEii显然：niin1，此时npqnpnn该定理为上定理的一个特殊情形，故由上定理该定理得证。作为以上二定理的应用，我们给出下面例子：Ex1：（关于二项分布的近似计算式）设),(~pnB，试求}{21mmP解}{21mmP=})1()1()1({)1(2121pnpnpmpnpnppnpnpmPppCmmkknkkn))1(())1((21pnpnpmpnpnpmEx2:P119例4三、课后作业：1、仔细阅读P112-119；2、作业：P1202，5，7，93、预习：样本及抽样分布1-3。