第五章数列

1第五章第一节数列的概念与简单表示法题组一由数列的前n项求数列的通项公式1.数列2、5、22、…，则25是该数列的()A．第6项B．第7项C．第10项D．第11项2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝n(n－1)2C．an＝n(n＋1)2D．an＝n(n＋2)23．n个连续自然数按规律排成下表：03→47→811…↓↑↓↑↓↑1→25→69→10根据规律，从2009到2011的箭头方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓题组二由an与Sn的关系求通项公式4.(2010·福州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k=()A．9B．8C．7D．65．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N)．(1)求{an}的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？题组三由an与an＋1(或an－1)的关系求通项公式6.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn7．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a1000＝()A．5B．－5C．1D．－18．根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1＋3n-1(n≥2)；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)．题组四数列的函数性质及综合应用29.已知数列{an}的通项公式是an＝na(n＋1)b，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是()A．an＞an＋1B．an＜an＋1C．an＝an＋1D．与n的取值有关10．(2010·温州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝S1＋S2＋…＋Snn，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a501的“理想数”为2008，那么数列2，a1，a2…，a501的“理想数”为()A．2004B．2006C．2008D．201011．(文)数列{an}满足an＋an＋1＝12(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝____.(理)已知函数f(n)＝22()()nnnn当为奇数时，当为偶数时，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.12．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝12a2n＋12an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)(理)若bn＝n(12)an，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与2116的大小．第五章第二节等差数列及其前n项和3题组一等差数列的判定与证明1.设命题甲为“a，b，c成等差数列”，命题乙为“ab＋cb＝2”，那么甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝an2n－1，证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.题组二等差数列的基本运算3.(2009·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于()A．1B.53C．2D．34．(2010·广州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于()A．9B．8C．7D．65．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于________．6．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝6n＋(－1)n－1λ·2an(λ为正整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn＋1＞bn成立．题组三等差数列的性质7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．278．在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝____.9．(2009·辽宁高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.题组四等差数列的前n项和及最值问题10.设数列{an}是等差数列，且a4＝－4，a9＝4，Sn是数列{an}的前n项和，则()A．S5＜S6B．S5＝S6C．S7＝S5D．S7＝S611．(文)在等差数列{an}中，若a10，S9＝S12，则当n等于________时，Sn取得最小值．(理)若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N*)，{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}满足3a5＝8a12＞0，则当n等于________时，Sn取得最大值．12．(2010·株州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)，满足f(0)＝f(12)＝0，且f(x)的4最小值是－18.设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，Sn)在函数f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)通过bn＝Snn＋c构造一个新的数列{bn}，是否存在非零常数c，使得{bn}为等差数列；(3)令cn＝Sn＋nn，设数列{cn·2cn}的前n项和为Tn，求Tn.第五章第三节等比数列及其前n项和5题组一等比数列的基本运算1.各项都是正数的等比数列{}an中，a2，12a3，a1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为()A.5－12B.5＋12C.1－52D.5＋12或5－122．(2009·浙江高考)设等比数列{an}的公比q＝12，前n项和为Sn，则S4a4＝________.3．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{an}的公比q＞0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.题组二等比数列的性质4.(2009·广东高考)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()A.12B.22C.2D．25．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于()A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶36．设{an}是公比为q的等比数列，|q|1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.题组三等比数列的判断与证明7.若数列{an}满足a2n＋1a2n＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．题组四等比数列的综合应用9.(文)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－𝟒−𝐧)B．16(1－𝟐−n)C.323(1－𝟒−𝐧)D.323(1－𝟐−𝐧)(理)在等比数列{an}中，an＞0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当S11＋S22＋…＋Snn最大时，n的值等于()A．8B．9C．8或9D．17610．(文)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋𝟐𝐧−𝟏an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)问是否存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)？请说明理由．(理)等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝24，a2＝5，对每一个k∈N*，在ak与ak＋1之间插入𝟐𝐤−𝟏个1，得到新数列{bn}，其前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)试问a11是数列{bn}的第几项；(3)是否存在正整数m，使Tm＝2010？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．第五章第四节数列求和7题组一分组转化求和1.数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10之值为()A．31B．120C．130D．1852．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n等于()A．13B．10C．9D．63．已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n1，且n∈N*)满足y＝2x－1，则a1＋a2＋…＋a10＝________.题组二裂项相消求和4.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n5．数列an＝1n(n＋1)，其前n项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．96．在数列{an}中，an＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1，又bn＝2an·an＋1，求数列{bn}的前n项的和．题组三错位相减法求和7.求和：Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.8．(2010·昌平模拟)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.题组四数列求和的综合应用9.(2010·长郡模拟)数列{an}，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2B.13(2n－1)C.13(4n－1)D．4n－110．已知数列{an}的通项公式为an＝log2n＋1n＋2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn－5成立的自然数n()A．有最大值63B．有最小值63C．有最大值32D．有最小值32811．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.12．(文)(2009·湖北高考改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－(12)n－1＋2(n∈N*)．(1)令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令cn＝n＋1nan，求Tn＝c1＋c2＋…＋cn的值．(理)已知数列{an}是首项为a1＝14，公比q＝14的等比数列，设bn＋2＝3log14an(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝an·bn.(1)求证：{bn}是等差数列；(2)求数列{cn}的前n项和Sn；(3)若cn≤14m2＋m－1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．第五章第五节数列的综合应用题组一等差、等比数列的综合问题1.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则am＋cn等于()9A．4B．3C．2D．12．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有()A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定3．(文)等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2＝3，S6＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{an·bn}的前n项和为Tn，求Tn.(