第五节函数极限与最大值最小值

第五节函数极限与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点.如在上节例3的图3-4-5中，点1x和2x就是具有这样性质的点，易见，对1x的某个邻域内的任一点x)1(x，恒有)1()(fxf，即曲线在点))1(,1(f处达到“峰顶”；同样，对2x的某个邻域内的任一点x)2(x，恒有)2()(fxf，即曲线在点))2(,2(f处达到“谷底”.具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义.由此我们引要入函数极值的概念.内容分布图示★函数极值的定义★函数极值的求法★例1★例2★例3★第二充分条件★例4★例5★例6★最大值最小值的求法★例7★例8★例9★例10★例11★例12★例13★内容小结★课堂练习★习题3-5★返回内容要点：一、极值的概念二、极值的必要条件三、第一充分条件与第二充分条件四、求函数的极值点和极值的步骤：（1）确定函数)(xf的定义域，并求其导数)(xf;（2）解方程0)(xf求出)(xf的全部驻点与不可导点;（3）讨论)(xf在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;（4）求出各极值点的函数值，就得到函数)(xf的全部极值.五、求函数的最大值与最小值在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在],[ba上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数)(xf在一切可能极值点的函数值，并将它们与),(af)(bf相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2）对于闭区间],[ba上的连续函数)(xf，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.例题选讲：求函数的极值例1（讲义例1）求出函数593)(23xxxxf的极值.例2（讲义例2）求函数32)1()4()(xxxf的极值.例3求函数3/223)(xxxf的单调增减区间和极值.例4（讲义例3）求出函数20243)(23xxxxf的极值.例5（讲义例4）求函数1)1()(32xxf的极值.例6求出函数3/2)2(1)(xxf的极值.求函数的最大值最小值例7（讲义例5）求14123223xxxy的在]4,3[上的最大值与最小值.例8求函数xxy2sin在2,2上的最大值及最小值.例9（讲义例6）设工厂A到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,如图3-5-4.现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?例10（讲义例7）某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?例11求内接于椭圆12222byax而面积最大的矩形的各边之长.例12由直线8,0xy及抛物线2xy围成一个曲边三角行,在曲边2xy上求一点,时曲线在该点处的切线与直线0y及8x所围成的三角形面积最大.例13求数列nnenna122}{2的最大项.(已知3723e)课堂练习1.下列命题正确吗?若0x为)(xf的极小值点,则必存在0x的某邻域,在此邻域内,)(xf在0x的左侧下降,而在0x的右侧上升.2.若)(af是)(xf在[a,b]上的最大值或最小值,且)(af存在,是否一定有0)(af?