第五节向量空间2011-2-15

1第五节向量空间教学目的：掌握向量空间的概念与性质，能正确判定一个向量集合是否为一个向量空间.掌握向量空间基的概念，会求向量空间的基.教学方法：讲授法与指导练习相结合教学过程：一、向量空间的概念1.【定义6】设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法与乘数两种运算封闭（即若,abV，则abV；若,aVk，则kaV.），则称集合V为向量空间.例1可以验证3维向量的全体3为三维向量空间.n维向量的全体n为n维向量空间.3n时，n维向量空间具体的几何意义.例2判断下列向量集合是否为向量空间（1）122{(0,,,)|,,}TnnVxxxxx是向量空间.（2）222{(1,,,)|,,}TnnVxxxxx不是向量空间，因为对加法运算不封闭.（3）3{(1,)|}Vxx不是向量空间，因为对加法运算不封闭.（4）224112{(,)|,}Vxxxx不是向量空间，因为对乘数运算不封闭.（k为负数不成立）（5）510{|}01Vkk不是向量空间，因为对加法运算不封闭.（6）齐次线性方程组的解集{|0}SxAx是向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）.（7）设,ab为两个已知的n维向量，则集合{|,}Lxab是一个向量空间.称为由向量a，b所生成的空间.2.结论：一般地，向量组12,,,maaa生成向量空间211221{|,}mmmLxaaa.（8）一个零向量构成向量空间.3.结论：若一个向量集合不含零向量，则此集合一定不构成向量空间.例3设向量组12,,,maaa与向量组12,,,sbbb等价，记111221{|,}mmmLxaaa，211221{|,}sssLxbbb；试证明12LL.证设1xL，则x可由12,,,maaa线性表示，又因为向量组12,,,maaa与向量组12,,,sbbb等价，所以x也可由12,,,sbbb线性表示；所以2xL，从而12LL.同理可证21LL，故12LL.4.【定义7】设V为向量空间，如果r个向量12,,,raaaV，且满足（1）12,,,raaa线性无关；（2）V中任意一个向量都可以由12,,,raaa线性表示；则向量组12,,,raaa称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，V为r维向量空间.如果向量空间V没有基，则它的维数是零，零维向量空间只含有一个零向量.3.说明：若把向量空间V看作一个向量组，则V的基就是该向量组的最大线性无关组，V的维数就是向量组的秩.向量空间V的维数不超过其向量的维数.V的维数记为：dim()V.1212(,,,)|,,,nTnnxxxxxxx称为n维向量空间.n的维数是n，n中任意n个线性无关的向量都是n的一组基.例4判断下列线性空间的维数（1）122{(0,,,)|,,}TnnVxxxxx是1n维向量空间.（2）齐次线性方程组的解集{|0}SxAx是向量空间.若3mnA，且()RAr，则{|0}SxAx为nr维向量空间.（3）若向量组12,,,maaa线性无关，则由向量组12,,,maaa生成向量空间11221{|,}mmmLxaaa的维数是m.（4）一个零向量构成向量空间.则它的维数是零.二、向量空间的性质1.【定义】设有向量空间1V和2V，若12VV，则称1V是2V的子空间.注意：1）由n维向量构成的空间V，都是n的子空间.2）向量空间V是自身的子空间；零向量集合是同维任何向量空间的子空间.3）平凡子空间：零子空间与自身；其余都是非平凡子空间.2.【定义8】设12,,,raaa是向量空间V的一组基，则对aV，都有1122rraaaa.其中数组12,,,r称为a在基12,,,raaa下的坐标.特别地，在n维向量空间n中取单位坐标向量组12,,,neee为基，则以12,,,nxxx为分量的向量x可以唯一表示为1122nnxxexexe.从而向量在基12,,,neee下的坐标就是该向量的分量，即12,,,neee称为n的自然基.例5设1231222114,,212,,0312242AaaaBbb，验证123,,aaa是3的一组基，并求12,bb在这个基下的坐标.分析先证123,,aaa线性无关即123,,aaa为3的基；再解矩阵方程AXB，其中12(,)Xxx为12,bb在基123,,aaa下的坐标.解422114(,)2120312242AB1232131()31111320302303355~rrrrrrr132332241001111333(3)22010101013335520110011333~~rrrrrr；~AE123,,aaa为3的基；又由1212324332,,,13213bbaaa知12,bb在基123,,aaa下的坐标分别为2242,,1;,1,3333.例6在3中取定一个基123,,aaa，再取一个新基123,,bbb，设123,,Aaaa，123,,Bbbb，求用123,,aaa表示123,,bbb的表示式.（基变换公式），并求向量在两个基中坐标的关系式（坐标变换公式）.解1123123123123,,,,,,,,aaaeeeAeeeaaaA；故1123123123,,,,,,bbbeeeBaaaAB；5即基变换公式为123123,,,,bbbaaaP，其中1PAB称为从旧基到新基的过渡矩阵.设向量x在旧基和新基中的坐标分别为123,,yyy和123,,zzz，即112323(,,)yxaaayy，112323(,,)zxbbbzz；则112233yzAyBzyz，所以1112233zyzBAyzy（坐标变换公式，其中11PBA）.例7设121231321311011,,,,1110213120,证明由向量组12,与向量组123,,分别生成的空间相等即12123(,)(,,)LL.证记12123(,),(,,)AB，则13213132131101104222(,)11102~021111312006333rAB1321302111(,)~0000000000rAB,B有二阶非零子式13011所以()2RB，又()(,)2RBRAB从而()(,)()2RARABRB，所以向量组12,与向量组123,,等价.6所以12(,)L与123(,,)L互相包含，故12123(,)(,,)LL.例8已知3的两个基分别为(1)1231111,0,0111aaa及1231232,3,4143bbb，求由基123,,aaa到基123,,bbb的过渡矩阵P.解123123,,,,BbbbaaaPAP，11123123,,,,PaaabbbAB123123(,,,,,)aaabbb111123100234100234010010~111143001101r；故234010101P为所求的过渡矩阵.小结：1.向量集合称之为向量空间的充要条件是集合中的元素对加法运算与数乘运算封闭.检验一个向量集合是否为向量空间即检验上述两种运算.但若集合不含零元素，则一定集合不是向量空间.2.向量空间的维数就是向量空间构成的向量组的最大无关组中向量的个数.注意：向量空间的维数不一定为其向量的维数.最大无关组是向量空间的基.存在问题：不能灵活运用矩阵的初等变换求基下的坐标以及过渡矩阵.