第五讲(教师讲义),二元二次方程组

1第五讲（教师讲义）二元二次方程组一、学习目标：1、了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组。2、一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．3、会运用二元二次方程组解应用题。二、知识梳理：含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．三、精讲精练：【例1】解方程组2220(1)30(2)xyxy分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2yx，代入方程(2)消去y．解：由(1)得：2yx(3)将(3)代入(2)得：22(2)30xx，解得：1211xx或把1x代入(3)得：22y；把1x代入(3)得：22y．∴原方程组的解是：11111122xxyy或．说明：(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；⑤写出答案．(2)消x，还是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程210xy，可以消去x，变形得21xy，再代入消元．(3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【例2】解方程组11(1)28(2)xyxy解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看成是方程211280zz的两根，解方程得：24z或z=7．∴原方程组的解是：11114774xxyy或．说明：(1)对于这种对称性的方程组xyaxyb，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x、y的字母，如z．(2)对称形方程组的解也应是对称的，即有解47xy，则必有解74xy．【例3】已知方程组201242kxyyxy有两个不相等的实数解，求k的取值范围。分析：由②代入①得到关于x的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。解：由②代入①并整理得：01)42(22xkxk016164)42(0222kkkk即10kk∴当k＜1且k≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。【例4】方程组52932yxyx的两组解是1111yx，2222yx不解方程组，求1221的值。（答案：353）分析：将xy5代入①得x的一元二次方程，1、2是两根，可用根与系数的关系，将115，225代入1221后，用根与系数的关系即可求值。二、由两个二元二次方程组成的方程组1．可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例3】解方程组22225()(1)43(2)xyxyxxyy分析：注意到方程225()xyxy，可分解成()(5)0xyxy，即得0xy或50xy，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．解：由(1)得：225()0()()5()0()(5)0xyxyxyxyxyxyxy3∴0xy或50xy∴原方程组可化为两个方程组：22225004343xyxyxxyyxxyy或用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：31241234431643,,,614343xxxxyyyy说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【例6】解方程组2212(1)4(2)xxyxyy分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．解：(1)–(2)3得：223()0xxyxyy即22230(3)()0xxyyxyxy∴300xyxy或∴原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44xyxyxyyxyy．用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11xxyy．说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例7】解方程组2226(1)5(2)xyxy解：(1)+(2)2得：222236()3666xyxyxyxyxy或，(1)-(2)2得：222216()1644xyxyxyxyxy或．解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551xxxxyyyy．说明：对称型方程组，如22xyaxyb、22xyaxyb都可以通过变形转化为xymxyn的形式，通过构造一元二次方程求解．2．可消二次项型的方程组4【例8】解方程组3(1)38(2)xyxxyy解：(1)3(2)得：3131(3)xyyx代入(1)得：212(31)33311xxxxxx或．分别代入(3)得：1224yy或．∴原方程组的解是：12121124xxyy或【例9】甲乙两人分别从A、B两地同时同向出发，甲经过B地后，再经过3小时12分在C地追上乙，这时两人所走的路程和为36千米，而A、C两地的距离等于乙走5小时的路程，求A、B两地的距离？分析：此题间接设元比较方便，如可设甲、乙两人速度分别为x千米/时，y千米/时，可以利用“两人所走的路程和为36千米”及“甲从A到C所用的时间与乙从B到C所用的时间相等”这两个等量关系建立方程组。解：设甲速为x千米/时，乙速为y千米/时则AC长5y千米，BC长为x千米（3小时12分=小时）AB长(5y-x)千米，由题意可得解这个方程组得：经检验它们都是所列方程组的解又∵不合题意舍去∴∴5y-x=5×4-=4答：A、B两地长4千米。四、堂后测：一、填空题：1、方程组3212xxyxy的解是。52、方程组123422yxyx的解是。3、解方程组0)3)(2(2022yxyxyx时可先化为和两个方程组。4、方程组61116511yxyx的解是。5、方程组bxyayx的两组解为1111byax，2222byax，则2121bbaa＝。二、选择题：1、由方程组04)1()1(122yxyx消去y后得到的方程是（）A、03222xxB、05222xxC、01222xxD、09222xx2、方程组03202yxxyx解的情况是（）A、有两组相同的实数解B、有两组不同的实数解21世纪教育网C、没有实数解D、不能确定3、方程组00122mxyyx有唯一解，则m的值是（）A、2B、2C、2D、以上答案都不对4、方程组mxyxy2有两组不同的实数解，则（）A、m≥41B、m＞41C、41＜m＜41D、以上答案都不对三、解下列方程组：1、15522yxyx；2、25722yxyx3、0352122222yxyxyxyx4、127xyyx；5、61322xyyx21世纪教育网21世纪教育网6四、m为何值时，方程组myxyx2022有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解。回家作业：1．解下列方程组：(1)26xyyx(2)22282xyxy(3)221235xyxxyy(4)2203210xyxxy2．解下列方程组：(1)32xyxy(2)16xyxy3．解下列方程组：(1)2222384xyxxyy(2)224221xyxy4．解下列方程组：(1)2252xyxy(2)22410xyxy堂后测答案：一、填空题：1、0111yx，5422yx；2、212yx；3、022022yxyx，032022yxyx；4、3211yx，2322yx；5、0二、选择题：ABCB三、解下列方程组：21世纪教育网1、14yx；2、4311yx，3422yx；3、2111yx，2122yx，22122333yx，22122344yx；4、4311yx，3422yx；5、3211yx，2322yx，3233yx，2344yx。[来源:21世纪教育网]7四、102m；当102m时，1010yx；当102m时，1010yx。回家作业：1．212121121212810103204322(1),,(2),,(3),(4),322231010344xxxxxxxyyyyyyy2．121212121232(1),,(2),2123xxxxyyyy3．12343412613613221313(1),,,222132131313xxxxyyyy312412342002(2),,,2222xxxxyyyy4．312412341212(1),,,1221xxxxyyyy，121213(2),31xxyy