第八次习题课讨论题解答_866306040

第八次习题课讨论题参考解答5月21日和22日本次习题课主要讨论线积分和面积分的计算，以及Green定理的应用。一．曲线积分1．计算Lxydl,其中L是正方形0,aayx.解:设)0,(),,0(),0,(),,0(aDaCaBaA,02)(2)(2)(2)(0000aaaaDACDBCABLdxaxxdxaxxdxaxxdxaxxxydlxydl解答完毕。注：如果经验丰富的话，一眼看出积分为零(根据对称性).2．设L为椭圆134x22y,其周长记为a。求Ldlyxxy)432(22解法一：椭圆L的方程可写成124322yx。于是LLLxydladlxydlyxxy212)212()432(22由对称性,02Lxydl,故adlyxxyL12)432(22.解法二：椭圆L：134x22y写作参数式cos2x，sin3y，]2,0[。于是所求第一型曲线积分为LLxydladlyxxy212)432(22。而0cos3sin4sin3cos22022dxydlL.因此原积分为a12。解答完毕。3．计算第二型曲线积分L22)()(yxdyyxdxyx，其中L是(1)1)1(4)2(22yx，顺时针定向．(2)13232yx，顺时针定向．(3)从)0,2(A到)4,4(B的有向线段．解：记22yxyxX，22yxyxY，则xYyxxyxyyX22222)(2，即向量场),(YX无旋。（1）设L是椭圆1)1(4)2(22yx，顺时针为正方向．由于向量场),(YX在椭圆盘1)1(4)2(22yx上连续可微，根据Green公式得LL22)()(YdyXdxyxdyyxdxyx1)1(4)2(220ddyxyxyXxY．（2）设L是闭曲线13232yx，顺时针定向．我们取正数充分小，使得圆周222:yxL包含在L之内，并规定逆时针为正向．计算L上的积分比较容易：Lyxxyxyyx22d)(d)(2d)sin()sin(coscos)sin(cos202。而由格林公式可知Lyxxyxyyx22d)(d)(2d)(d)(22Lyxxyxyyx．（3）在（1）的解答中，已经证明了场),(YX无旋，从而场在右半平面上保守，即线积分L22)()(yxdyyxdxyx在右半平面上积分与路径无关。因此可取积分路径L为两个直线段：点)0,2(到点)0,4(的直线段，以及点)0,4(到点)4,4(的直线段。于是所求积分为2240224022)4,4()0,4(2)0,4()0,2(224442ln4)4(d)(dy)(yydyydyydyyxxdxyxxyxyxL4/2ln)4ln)44(ln(1arctan2ln2322221．解答完毕。4．设),(yxf在}1),({22yxyx内有连续的偏导数，且满足方程),(212222yxfyfxf。进一步假设1)0,0(f．求极限lnfttDtdcos11lim0，这里n为圆周tD的单位外法向量，}0,),({222ttyxyxDt。解：注意方向导数nf可写作nfnf．于是利用格林公式的散度形式得tttDDDyxyfxfnfnfdd)(dldl2222tDyxyxfdd),(21。对上式最后的二重积分应用中值定理得lnftDdtDyxyxfdd),(212),(21tftt，其中点tttD),(。于是lnfttDtdcos11lim02)0,0(2cos1lim),(lim2cos1),(lim220020fttfttfttttttt。解答完毕。5．设函数),(yxf在上半平面0),(yyxD内具有连续偏导数,且对任意的0t，对任意点Dyx),(，都有),(),(2yxfttytxf（此即),(yxf是2次齐次函数）。证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有Ldyyxxfdxyxyf0),(),(。解：在等式),(),(2yxfttytxf两边关于t求导得),(2),(),(3yxfttytxyftytxxfyx，Dyx),(，0t。令1t得),(2),(),(yxfyxyfyxxfyx（此即齐次函数的Euler公式）。这个等式意味着平面向量场),(xfyf无旋,即0)()(yxyxyffxffyfxf。再注意域D为单连通的。因此场),(xfyf在域D上的任何闭路径积分为零。故Ldyyxxfdxyxyf0),(),(。证毕。6.计算积分dzyxdyxzdxzyI)()()(222222，其中为球面片1222zyx，0,,zyx的边界曲线，方向是从点)0,0,1(到点)0,1,0(，到点)1,0,0(，再回到)0,0,1(。（课本习题4.4题3（4），page192）解：如图321LLL，321,,LLL利用球坐标参数可以写成0,sin,cos:1zyxL，2/0（参数增为正），cos,sin,0:2zyxL，2/0（参数减为正），cos,0,sin:3zyxL，2/0（参数增为正），31)(22LLdxzy（注意在2L上0dx）34cos2cos)cos0()sin()0(sin2/032/022/02ddd由x-y-z循环对称，原式=4.解答完毕。7.设C为闭曲线：2yx，逆时针为正向。计算Cyxbydxaxdy。解：利用2yx，CCbydxaxdyyxbydxaxdy21，再将曲线分成4段直线段4321CCCCC，2:1yxC，20x，x减少为正向；2:2xyC，02x，x减少为正向；2:3yxC，02x，x增加为正向；2:4yxC，20x，x增加为正向；)(2]2)[()]2()1([20201badxbxbadxxbaxbydxaxdyC，)(2]2)[()]2([02022badxbxabdxxbaxbydxaxdyC，)(2]2)[()]2()1([02023badxbxabdxxbaxbydxaxdyC，)(2]2)[()]2([20204badxbxbadxxbaxbydxaxdyC，综上，原式)(4][214321baCCCC．注：利用Green公式，后面一段关于曲线积分的计算可以大大简化：记2yx围成的区域为D，则利用2yx和Green公式，得CCbydxaxdyyxbydxaxdy21Ddxdyba)(21)(48)(21)()(21babaDba。解答完毕。二．曲面积分1．计算SSyxd)(22．其中S是锥体122zyx的边界．解：分别记1S和2S为锥体的侧面和上底面，则SSyxd)(221d)(22SSyx2d)(22SSyx在1S上，yxdxdyzzSyxdd21d22（22yxz）在2S上，dxdyyxzzSyxdd1d22（1z）．于是2/d2d)(d)(1022012222221rrrdxdyyxSyxyxS，10220122222/dd)(d)(221rrrdxdyyxSyxyxS．于是所求面积分为)2/12/1(d)(22SSyx．解答完毕。2．求SdSzyxI2)(,其中S为单位球面.解:SSdSzxyzxyzyxdSzyxI)222()(2222SSdSzxyzxydSzxyzxy)(24)2221(其中4是球的表面积.由对称性可知,0SSSzxdSyzdSxydS,故4I。解答完毕。3．计算螺旋面S：cosrx，sinry，rz（20,0Rr）的面积。解：RSdrFEGddS0220S||)]212ln(42[222220202RrdrdR。解答完毕。4．求圆柱面222Ryx被抛物柱面22xRz及平面0z所截部分S的侧面积。解法一：（利用第一类曲线积分的几何意义）侧面积LdlxRA)(22,其中L为空间曲线22222RyxxRz在xoy平面上的投影，即xoy平面上的园L：222Ryx。其参数方程为tRtxcos)(，tRtysin)(，20t，它的弧长微分Rdtdttytxdl22)()(。于是32022222cos)(RRdttRRdlxRAL。解法二：（第一类曲面积分）由于所截部分S关于xoz平面对称，即点Szyx),,(当且仅当Szyx),,(。位于0y部分的曲面方程为22xRy，Dzx),(，其中220,xRzRxRD。于是所求面积为xzDSdxdzzyxydSS2212||dzxRxdxxRRR2202221232023022sin44RtdtRdxxRRR。解答完毕。5．计算第一型曲面积分dSzIS,以及第二型曲面积分dydxzJS,其中曲面S为球面2222:azyxS；定向曲面S的正法向向外。解：分别记1S，2S为S的上半球面和下半球面，它们的方程为1S：222yxaz，}),,{(),(222ayxyxDyx2S：222yxaz，Dyx),(考虑第一型曲面积分I。根据被积函数和球面的对称性，我们有dSzdSzSS21。因此1212SSSSzdSdSzdSzdSzI。对于上半球面1S，面积元素222221yxadxdyadxdyyzxzdS。于是12SzdSI=22222222222xaxaaadxdyyxaayxadx=aadxxaa032228。考虑第二型曲面积分J。dydxzdydxzdydxzJSSS21。注意到22221222xaxaaaSdxdyyxadxdydxz，以及22222222xaxaaaSdxdyyxadxdydxz，故021dydxzdydxzdydxzJSSS。解答完毕。6．记S为锥面22yxz被柱面xyx222所截的有限部分。规定曲面S的正向向下，所得的定向曲面记为S。求下面两个积分的值。(i)SzdS。(ii)Szdxdyydzdxxdydzzyx222.解：(i)简单计算知锥面22yxz的面积元素为dxdydS2。因此SzdScos2022222222