第八章 二元一次方程组

第八章二元一次方程组8．1．1二元一次方程组学习目标：知识：1.二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解方法:观察、类比情感：分析实际问题，培养数学应用意识学习重点：二元一次方程组的含义学习难点：判断一组数是不是某个二元一次方程组的解教具：多媒体课件教学流程：【导课】幻灯片演示：师：我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？（学生思考自行解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，班级集体讨论给出各种解决方案．）方案一：算术方法把兔子都看成鸡，则多出94－35×2=24只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，故，由此可先求出兔子有24÷2=12只，进而鸡有35－12=23只．或类似的也可以先求鸡的数量．35×4－94=46，46÷2＝23方案二：列一元一次方程解设有x只鸡，则有（35－x）只兔．根据题意，得2x十4(35－x)=94.（解方程略）（教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，“元”是指什么？“次”是指什么？以古老的数学名题引入，可以增强学生的民族自豪感，激发学好数学。能用方案一来解的学生算术功底比较好，应给予高度赞赏．方案二既是对一元一次方程的复习与巩固，又为二元一次方程组的引出做好铺垫在。）师：上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？（若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程）方案三：设有x只鸡，y只兔，依题意得x＋y=35，①2x＋4y=94.②针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：（1）、你能给这两个方程起个名字吗？（2）为什么叫二元一次方程呢？（3）什么样的方程叫二元一次方程呢？【阅读质疑，自主探究】请同学们阅读课本93到94页告诉大家你学会了什么？1：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程．2：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组3、二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．今天我们用二元一次方程组解决这个问题。板书课题【多元互动，合作探究】满足x＋y=35的值有哪些？请填入表中：x…y…：（1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？（2）你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？（3）它与一元一次方程的解有什么区别？使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解。师：那么什么是二元一次方程组的解呢？学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程．即：既是方程①又是方程②的解．注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，表示“且”．议一议：将上述“鸡兔同笼”问题的三种方案进行优劣对比，你有哪些想法呢？（引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念通过探究活动得出结论）1、二元一次方程的解是成对出现的；2、二元一次方程的解有无数多个．（这与一元一次方程有显著的区别．通过对比，让学生体验到从算术方法到代数方法是一种进步．而当我们遇到求多个未知量，而且数量关系较复杂时，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，它大大减轻了我们的思维负担．）【训练检测，目标探究】1、判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由。①yx23②74yx③62yx④23xyx⑤zyx43⑥yx3122、已知x、y都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组？①75243yxyx②32yxxy③zyyx75④823155yxy3、试写出一个二元一次方程组，使它的解是，这个方程组可以是________.x＝－1y＝34、在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你能帮小马解决吗？【迁移应用，拓展探究】本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？（在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进行补充的方式进行．）1.每个方程的特点，与一元一次方程的不同。2.什么叫二元一次方程，二元一次方程组。3.二元一次方程组的解，及其解的记法。4、用列表尝试的方法求二元一次方程的解注意：1、二元一次方程的解是成对出现的；2、二元一次方程的解有无数多个．作业设计1、必做题：课本95页习题8.1第1、2题．2、选做题：课本95页习题8.1第5题．3、备选题：（1）根据下列语句，列出二元一次方程：①甲数的一半与乙数的的和为11②甲数和乙数的2倍的差为17（2）方程x＋2y=7在自然数范围内的解（）A有无数个B有一个C有两个D有三个（3）若mx＋y=1是关于x,y的二元一次方程，那么m的值应是（）A.m≠OB.m=0C.m是正有理数D.m是负有理数（4）李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁骑车的速度快？（不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，实现不同的人在数学上获得不同的发展的教学理念．）本课知识体系：二元一次方程、二元一次方程组的含义及其解的定义板书设计：8、1二元一次方程组1.二元一次方程2.二元一次方程组3.二元一次方程的解4.二元一次方程组的解教学反思：8、2消元-------二元一次方程组的解法（1）学习目标：知识：1、用代入消元法解二元一次方程组。能力：体会解方程组的消元思想。情感：在探索过程中形成观察、分析、归纳的良好习惯。学习重点：代入消元法解二元一次方程组。学习难点：表达式的选取和表示方法。突破策略：用含有一个未知数的代数式表示另一未知数的方程的变形。教具：多媒体课件。教学流程：【导课】观看动画：《曹冲称象》思考：1、在这个故事中，曹冲用什么称出大象的重量的？（以石代象）2、从这个故事中您能得到什么启发？（相等的量可以相互代替）引例：师：请同学看屏幕（课件显示2008北京奥运吉祥物“福娃”）师：你们知道这是什么吗？（福娃）谁能简单地介绍一下有关“北京奥运会”的知识？生：北京奥运会的主题宣传语为“同一个世界，同一个梦想”．生：为了迎接北京奥运会，我们国家提出了“全民健身，迎接奥运”的口号，世界冠军刘翔是这个活动的形象大使．师：说的太好了，为了响应国家的号召，增强学生的身体素质，丰富同学们的课余生活，我校也准备组织一次以班级为单位的篮球比赛．为了取得好名次，我们班想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分，那么我们班应该胜负各几场？根据上节的学习我们知道，这个问题可以通过列一元一次方程求解。也可以设出两个未知数，根据题目中的等量关系设胜x场，负y场，可以列出二元一次方程组｛22402yxyx②那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？板书课题【阅读质疑，自主探究】学生阅读课本96页，完成下面的问题1、两个方程的x所表示的意义一样吗？y呢？（一样）2、把两个二元一次方程合在一起，就形成一个二元一次方程组，是通过什么符号实现的？（大括号）3、二元一次方程组的相同的字母它们所表示的意义能不一样吗？任意两个二元一次方程都能组成二元一次方程组吗？（不能，能）4、二元一次方程组的解与一元一次方程的解它们有什么异同点？（二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程．即：既是方程①又是方程②的解．注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，表示“且5、怎样把两个未知数化成一个未知数？（由方程①进行移项得：y=22－x，由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用（22－x）来代换，即得2x+(22－x)=40．由此一来，二元化为一元了．解得x=18．）6、问题解决完了吗？怎样求y？（将x=18代入方程y=22－x，得y=4．）7、能代入原方程组中的方程①②来求y吗？代入哪个更方便？（代入方程①）这样，就求出了二元一次方程组的解。8、从上面的学习中你能体会到代入法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？与你的同伴交流．（用代入法解二元一次方程组的一般过程：（1）变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即y=ax+b的形式；（2）代入：将y=ax+b代入另一个方程中去，消去y，得到关于x的一元一次方程；（3）求解：解这个一元一次方程，求出x的值；把求得的值代入y=ax+b中去，求出y的值，从而得到方程组的解；（4）检验：可以心算或在草稿上演算．（5）写解例题讲解：自学课本97页例1，小组合作学习例2，完成下面的问题1、这个方程组与上面的方程组有什么不同？（方程组中两个未知数系数都不是1）2、如何变形？用x表示y，还是用y表示x？（一般选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示，这样代入后能使计算简便）【训练检测，目标探究】课本98到99页练习题，要求：1、抽学生上黑板做题。2、认真审题独立完成2题。3、学生互动（会做的可以帮助有困难的学生指点）。【迁移应用，拓展探究】这节课你的收获是什么？1、解二元一次方程组的基本思想是“消元”，化二元一次方程组为一次方程2、代入法的一般步骤。作业设计:1、必做题：课本103页习题8.2第1题、第2题．2、选做题：求满足5x+3y=x+2y=7的x，y的值．本课知识体系：二元一次方程-----消元----一元一次方程，体会将未知向已知、陌生向熟悉转化这一重要思想——化归思想．板书设计：8、2消元-------二元一次方程组的解法（1）1、代入法的一般步骤2、例题教后反思：8、2消元-------二元一次方程组的解法（2）学习目标知识：加减法解二元一次一次方程组的步骤能力：训练学生的运算技巧情感：渗透化归的转化思想学习重点：用加减法解二元一次方程组学习难点：灵活应用加减法解二元一次方程组突破策略：将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值。教学流程【导课】用代入法解方程组：1737yxyx上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解。对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容。【阅读质疑，自主探究】阅读课本99页后回答下面的问题：1.上面这个方程组的两个方程中，未知数y的系数有什么关系？利用这个关系你能发现新的消元方法吗？（根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减，就可消掉y，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解。2、如果方程组的两个方程中，同一个未知数的系数互为相反数时，又该怎么办呢？3、什么是加减消元法？4、比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是加减法简单？（加减法）5比较用这两种方法得到的方程组的解是否相同？（相同）、6、什么条件下用加法，什么条件下用减法？7、用加减法解二元一次方程组的条件是什么？（某个未知数的系数的绝对值相等）【多元互动，合作探究】阅读课本100页例3小组代表回答下列问题1、上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）2、如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（在方程两边都乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元）3、如果用加减法消去x应如何解？解得的结果与上面一样吗？4、用加减法解二元一次方程组的步骤（a、变形，使某个未知数的系数绝对值相等，b、加减消元，c、解一元一次方程，d代入得另一个未知数的值，从而得方程组的值，）④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．两个方程中，未知数系数的绝对值都不