第八章(第一节矩估计法)

1第八章参数估计第一节参数的点估计在研究总体X的性质时，如果知道总体X的概率分布，那是再好不过了。然而，在许多情况下，对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。在实际问题中遇到的许多总体，根据以往的经验和理论分析可以知道总体X的分布函数的形式，但分布中的一个或几个参数未知，一旦这些参数确定以后，总体X的概率分布就完全确定了。例如，总体),(~2NX，但不知道其中参数和2的具体数值，我们要想法确定参数2,。为了寻求总体的这些参数的值，我们可对总体进行调查，很自然的会想到用从总体X中抽取得的样本值nxxx,,,21，对总体中的未知参数作2出来估计，这类问题就是参数估计。参数估计主要有参数的点估计和参数的区间估计。设总体X的分布函数(;)Fx形式已知，其中是未知参数（也可以是未知向量12(,,,)m）。现从总体X中抽得一个样本nXXX,,,21,相应的一个样本值观察值为nxxx,,,21；点估计的问题就是要构造一个适当的统计量12ˆ(,,,)nXXX，用它的观察值12ˆ(,,,)nxxx来估计未知参数。统计量12ˆ(,,,)nXXX称为的估计量，12ˆ(,,,)nxxx称为的估计值。在不致混淆的情况下，估计量与估计值统称为估计，并都简记为ˆ。下面介绍参数点估计的两种方法：矩估计法和极大似然估计。3一、矩估计法矩估计是由英国统计学家Pearson,K.于1900年提出的一种参数估计方法，在统计学中有广泛的应用。例1某灯泡厂生产一批灯泡，由于随机因素的影响，每个灯泡的使用寿命是不一样的。由中心极限定理和实际经验知道，灯泡的使用寿命),(~2NX，但不知道其中参数和2的具体数值。为了确定该批灯泡的质量,自然要求估计这批灯泡的平均寿命以及寿命的差异程度,即要求估计和2的值.为了对参数和2进行估计，我们从总体中抽取样本nXXX,,,21（对于一次具体的抽取，他就是具体的数值nxxx,,,21,在不致引起混淆的情况下，今后也用nxxx,,,21表示随机变量），根据样本矩在一定程度上4反映了总体矩的特征，自然想到用样本矩作为总体矩的估计。于是，我们分别用样本均值和样本方差作为总体均值和总体方差2的估计，记为ˆ和2ˆ，即有XXnnii11ˆ,(8.1)niiSXXn1222)(11ˆ,(8.2)显然，ˆ和2ˆ都是样本nXXX,,,21的函数，是统计量，分别称为和2的矩估计量。若nxxx,,,21为样本值,则称xxnnii11ˆ,niisxxn1222)(11ˆ,分别为和2的矩估计值.对于不同的样本值，估计值也是不同的。这种用样本矩来估计相应的总5体矩的方法，称为矩估计法。矩估计的理论根据和方法：设总体X的分布函数为),,,;(21mxF,未知参数m,,,21;总体矩:),,,(21mkkaEX,mk,,2,1或),,,()(21mkkbEXXE,mk,,2,1;nXXX,,,21为来自于总体X的样本,nxxx,,,21为样本值(观察值,抽样结果,具体记录下来的一组数).样本矩:nikikXnA11,kinikXXnB)(11,212)(11XXnSini在一定条件下，6kkPnikikaEXXnA11,(n)或kkPkinikbEXXEXXnB)()(11于是，可令nikikXnA11作为kkEXa的近似值,kkaA即令(人为作出方程组)kmkAa),,,(21,mk,,2,1,或令kmkBb),,,(21,mk,,2,1,得到含m个未知数的m个方程式;解这m个联列方程组可得到m,,,21的一组解(记为):),,,(ˆˆ21niiXXX,mi,,2,1则这组解mˆ,,ˆ,ˆ21就称作为m,,,21的矩估计量,其观察值称为7矩估计值.矩估计的另一种观点:在方程组),,,(21mkkaEX,mk,,2,1,中,求解出解),,,(21miiEXEXEX,mi,,2,1;将其中的kEX用kA替换,得到),,,(ˆ21miiAAA),,,(ˆ21niXXX,(mi,,2,1)称),,,(ˆ21miiAAA),,,(ˆ21niXXX(mi,,2,1)为i(mi,,2,1)的矩估计量;将样本值代入得矩估计值.(或从方程组),,,()(21mkkbEXXE,mk,,2,1,中,求解出解))(,,)(,)((21miiEXXEEXXEEXXE,mi,,2,1;将其中的kEXXE)(用kB替换,得到),,,(ˆ21miiBBB),,,(ˆ21niXXX,(mi,,2,1)8称),,,(ˆ21miiBBB),,,(ˆ21niXXX(mi,,2,1)为i(mi,,2,1)的矩估计量;将样本值代入得矩估计值.)例2有一批零件，其长度),(~2NX，现从中任取4件，测的长度（单位：mm）为12.6,13.4,12.8,13.2,试估计和2的值。解由13)2.138.124.136.12(41x,133.0])132.13()138.12()134.13()136.12[(14122222s得和2的估计值分别为13(mm)和0.133(mm)2。例3设总体X的概率密度为其它,010,);(1xxxf,nXXX,,,21为来自于总体X的样本,nxxx,,,21为样本值,9求的矩估计。解先求总体矩1110101101xdxxdxxxEX令XXnAEXnii111,即得X1,即有X)1(,解之得XX1ˆ为的矩估计量,xx1ˆ为的矩估计值.对于作等式的原则，总体矩和样本矩都有多种，要用同样种类的矩列出等式。多个参数时，列等式的方式不唯一，因此，矩估计就得10到不唯一的形式.例如两个参数21,情形的矩估计,可列如下几种方式:221AEXXAEX,或221)(BEXXEXAEX,或221)(SEXXEXAEX.例4设总体X的概率密度为xexf21),(,（x），0，求的矩估计量ˆ.解法一虽然),(xf中仅含有一个参数，但因021dxexEXx不含，不能由此解出，需继续求总体的二阶原点矩112202222)3(121dxexdxexEXxx,用niiXnA1221替换2EX，2212221EXXnAnii,即得的矩估计量为2/121ˆ212AXnnii,0解法二)2(1210dxexdxexXExx即||XE,用niiXn11替换XE，即得的另一矩估计量为niiXn1^1.此外还需比较估计的优劣性，这一点将在下一节将会介绍，这里不再多说。